Atrisinājums

Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi.

Indukcijas bāze. Ja \(n=1\), tad \(6^{2}+19^{1}-2^{2}=51\), kas dalās ar \(17\).

Induktīvais pieņēmums. Pieņemsim, ka apgalvojums ir patiess, ja \(n=k\), tas ir, \(6^{2k}+19^{k}-2^{k+1}\) dalās ar \(17\).

Induktīvā pāreja. Pierādīsim, ka apgalvojums ir patiess arī, ja \(n=k+1\), tas ir, \(6^{2k+2}+19^{k+1}-2^{k+2}\) dalās ar \(17\). Pārveidojam izteiksmi:

\[\begin{aligned} & 6^{2k+2}+19^{k+1}-2^{k+2}=36 \cdot 6^{2k}+19 \cdot 19^{k}-2 \cdot 2^{k+1}= \\ & =\underbrace{19 \cdot\left(6^{2k}+19^{k}-2^{k+1}\right)}_{\vdots 17}+\underbrace{17 \cdot 6^{2k}}_{\vdots 17}+\underbrace{17 \cdot 2^{k+1}}_{: 17} . \end{aligned}\]

Tā kā katrs saskaitāmais dalās ar \(17\), tad arī summa dalās ar \(17\). *Secinājums.* Tā kā apgalvojums ir patiess, ja \(n=1\), un no tā, ka apgalvojums ir patiess, ja \(n=k\), izriet, ka apgalvojums ir patiess arī \(n=k+1\), secinām, ka apgalvojums ir patiess visām naturālām vērtībām.

Atrisinājums

Apskatām doto izteiksmi pēc moduļa \(17\):

\[6^{2n}+19^{n}-2^{n+1} \equiv 36^{n}+19^{n}-2 \cdot 2^{n} \equiv 2^{n}+2^{n}-2 \cdot 2^{n} \equiv 0(\bmod 17)\]