Atrisinājums

Pamatosim, ka der vērtības formā \(a=\frac{k(k+1)}{2}\) un \(b=\frac{k(k-1)}{2}\), kur \(k\) ir naturāls skaitlis, kas lielāks nekā \(1\):

• \(a\) un \(b\) ir naturāli skaitļi, jo \(k(k+1)\) un \(k(k-1)\) dalās ar \(2\) kā divu pēc kārtas esošu naturālu skaitļu reizinājums;
• ievietojot šīs vērtības dotajā vienādojumā, iegūstam patiesu vienādību:

\[\begin{aligned} \left(\frac{k(k+1)}{2}-\frac{k(k-1)}{2}\right)^{2} & =\frac{k(k+1)}{2}+\frac{k(k-1)}{2} \\ \left(\frac{2k}{2}\right)^{2}=\frac{2k^{2}}{2} & \Rightarrow \quad k^{2}=k^{2} \end{aligned}\]

Tā kā šādu \(k\) vērtību ir bezgalīgi daudz, tad arī dotajam vienādojumam ir bezgalīgi daudz atrisinājumu: *Piezīme.* Meklētās \(a\) un \(b\) vērtības var palīdzēt atrast tālāk aprakstītie spriedumi. \(1.\ veids.\) Apzīmējam \(a-b=k\), tad \(k^{2}=a+b\). Saskaitot abas vienādības, iegūstam \(2a=k+k^{2}\) jeb \(a=\frac{k(k+1)}{2}\). Aprēķinām \(b=a-k=\frac{k^{2}+k}{2}-k=\frac{k^{2}-k}{2}=\frac{k(k-1)}{2}\) \(2.\ veids.\) Apzīmējam \(a-b=k\), tad \(a+b=k+2b\), tātad doto vienādojumu var pārrakstīt formā \(k^{2}=k+2b\), no kā iegūstam, ka \(b=\frac{k^{2}-k}{2}=\frac{k(k-1)}{2}\) un \(a=k+b\).