Sākums

LV.NOL.2016.11.2

Pierādīt, ka starp jebkuriem pieciem naturālu skaitļu kvadrātiem var atrast divus tādus, ka to summa vai starpība dalās ar \(13\).

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Vispirms noskaidrosim, ar ko var būt kongruents naturāla skaitļa kvadrāts pēc moduļa \(13\).

\(n(\bmod 13)\) \(n^{2}(\bmod 13)\)
\(0\) \(0\)
\(1\) \(1\)
\(2\) \(4\)
\(3\) \(9\)
\(4\) \(3\)
\(5\) \(12\)
\(6\) \(10\)
\(7\) \(10\)
\(8\) \(12\)
\(9\) \(3\)
\(10\) \(9\)
\(11\) \(4\)
\(12\) \(1\)

Tātad naturāla skaitļa kvadrāts pēc moduļa \(13\) var būt kongruents ar \(0,\ 1,\ 3,\ 4,\ 9,\ 10\) vai \(12\).

  • Ja divi kvadrāti dod vienādu atlikumu, dalot ar \(13\), tad to starpība dalās ar \(13\).
  • Ja nekādi divi no šiem pieciem kvadrātiem nav kongruenti pēc moduļa \(13\), tad sadalām šo kvadrātu iespējamās vērtības pēc moduļa \(13\) četrās grupās: \(\{0\}\), \(\{1; 12\}\), \(\{3; 10\}\), \(\{4; 9\}\). Tā kā ir jāizvēlas pieci naturālu skaitļu kvadrāti, tad vismaz divi no tiem būs vienā grupā (Dirihlē princips). Šo divu skaitļu summa dalās ar \(13\).