Pierādīt, ka katram naturālam \(n\) ir patiesa vienādība \(1 \cdot 4+2 \cdot 7+3 \cdot 10+\cdots+n \cdot(3n+1)=n(n+1)^{2}\).
Definējam virkni
\[a_n = 1\cdot{}4 + 2\cdot{}7 + 3\cdot{}10 + \cdots + n\cdot{}(3n + 1)\]
Katrs nākamais šīs virknes loceklis ir par \(n\cdot{}(3n+1)\) lielāks kā iepriekšējais. Tikpat liela ir starpība starp \(n(n+1)^2\) un izteiksmi, kur \(n\) aizstāj ar \(n-1\): \((n-1)n^2\):\[n(n+1)^2 - (n-1)n^2 = n(n^2 + 2n + 1) - n^3 + n^2 =\]
\[= n^3+2n^2+n - n^3+n^2 = 3n^2 + n = n(3n+1).\]
Spriedums ar matemātisko indukciju **Bāze:** Ja \(n=1\), tad \(a_1 = 1\cdot{}4 = 4\) un arī \(n(n+1)^2 = 4\). **Pāreja:** Palielinot \(n\) par \(1\), gan virkne \(a_n\), gan formula \(n(n+1)^2\) pieaug vienādiem soļiem.