Atrisinājums

(A) pieņemsim, ka \(a\) dalītāji ir \(1<a_{1}<a_{2}<a\), bet \(b\) dalītāji ir \(1<b_{1}<b_{2}<b_{3}<b_{4}<b\). Tad \(1<b_{1}<b_{2}<b_{3}<b_{4}<b<a_{1}b<a_{2}b<ab\) ir \(9\) dažādi skaitļa \(ab\) dalītāji.

(B) jā; piemēram, ja \(a=8,\ b=32\) un \(ab=256\).

Atrisinājums

Apgalvojums: Katram naturālam \(n\) ir spēkā apgalvojums:
ja skaitļa \(n\) sadalījums pirmreizinātājos ir \(n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots p_k^{a_k}\), tad \(n\) visu pozitīvo dalītāju skaits ir \(d(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)\ldots(a_k+1)\).

Varam aplūkot dažādus gadījumus:

• Tieši četri dalītāji var būt tādam \(a\), kas ir vai nu \(p^3\) vai \(pq\). (\(p,q\) - pirmskaitļi)
• Līdzīgi \(b\) ir \(r^5\) vai \(r^2s\). (\(r,s\) - pirmskaitļi)
• Ja \(p=r\), var dabūt \(ab = p^3p^5 = p^8\).

Savukārt, mazāk nekā \(9\) dalītāji var rasties \(3\) veidos:

• \(p^a\), kur \(a+1 < 9\),
• \(p^aq^b\), kur \((a+1)(b+1) < 9\),
• \(p^aq^br^c\), kur \((a+q)(b+1)(c+1) < 9\).

Neviens no šiem gadījumiem neatbilst mūsu nosacījumam.