Doti reāli skaitļi \(a\) un \(b\), kuriem
\[\frac{a}{a^{2}-5}=\frac{b}{5-b^{2}}=\frac{a b}{a^{2} b^{2}-5}.\]
Kāda var būt izteiksmes \(a^{4}+b^{4}\) vērtība, ja papildus zināms, ka \(a+b \neq 0\)?Vienādojot saucējus pirmajai vienādībai, iegūstam
\[\begin{gathered} a\left(5-b^{2}\right) = b\left(a^{2}-5\right), \\ 5 a-ab^{2} = a^{2}b-5b, \\ 5a + 5b = a^{2}b + ab^{2}, \\ 5(a+b) = ab(a+b), \\ 5 = ab, \end{gathered}\]
balstoties uz to, ka \(a+b \neq 0\). Tātad iegūstam, ka\[\frac{a}{a^{2}-5} = \frac{b}{5-b^{2}} = \frac{a b}{a^{2} b^{2}-5} = \frac{5}{25-5}=\frac{1}{4}.\]
No šī tad secinām, ka \(4a = a^{2}-5\) jeb \(a^{2}-4a-5 = 0\). Pēc Vjeta teorēmas šim ir divi atrisinājumi \(a_{1}=-1\) un \(a_{2}=5\). Tā kā \(a b=5\), tad attiecīgi saistītās \(b\) vērtības ir \(b_{1}=-5\) un \(b_{2}=1\). Šīs arī ir tās saknes, ko iegūst no dotās sakarības, tas ir, \(4b = 5-b^{2}\). Abos gadījumos iegūstam, ka \(a^{4}+b^{4}=5^{4}+1^{4}=625+1=626\).