Atrisinājums

Ievērosim, ka trijstūris \(AOC\) ir vienādsānu, jo \(AO=CO\) kā riņka līnijas rādiusi. Ņemot vērā, ka vienādsānu trijstūrim pamata leņk̦i ir vienādi un ka trijstūrī leņk̦u summa ir \(180^{\circ}\), iegūstam, ka

\[\sphericalangle CAO=\sphericalangle OCA=\frac{180^{\circ}-\alpha}{2} = 90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\]

Līdzīgi varam spriest arı̄ par vienādsānu trijstūri \(ABO\) (\(AO=BO\) kā riņka līnijas rādiusi) un iegūt, ka \(\sphericalangle ABO=\beta\). Apzīmēsim \(\sphericalangle BCO\) ar \(\gamma\). Tā kā trijstūris \(BOC\) ir vienādsānu (\(BO\) un \(CO\) ir vienādi kā riņk̦a līnijas rādiusi), tad \(\sphericalangle BCO=\sphericalangle OBC=\gamma\). Ņemot vērā, ka trijstūra \(ABC\) iekšējā leņķu summa ir \(180^{\circ}\), iegūstam (skatīt 11. att.), ka

\[90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}+90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}+\beta+\beta+\gamma+\gamma=180^{\circ}\]

jeb

\[2 \gamma=180^{\circ}-180^{\circ}+\alpha-2 \beta \Longrightarrow \gamma=\frac{a}{2}-\beta\]

Secinām, ka \(\sphericalangle OBC=\frac{\alpha}{2}-\beta\).