Uz katras no \(36\) kartītēm uzrakstīts kāds naturāls skaitlis (daži no tiem var būt arī vienādi). Kartītes iespējams sadalīt deviņās grupās pa četrām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas. Kā arī kartītes iespējams sadalīt četrās grupās pa deviņām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas. Vai vienmēr visas kartītes var sadalīt sešās grupās pa sešām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas?
Nē, ne vienmēr. Aplūkosim \(4 \times 9\) rūtiņas lielu tabulu.
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ | 1 | 1 | 1 | 9 | 1 | 1 | 1 | 9 | 3 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+ | 1 | 1 | 9 | 1 | 1 | 1 | 9 | 1 | 3 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+ | 1 | 9 | 1 | 1 | 1 | 9 | 1 | 1 | 3 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+ | 9 | 1 | 1 | 1 | 9 | 1 | 1 | 1 | 3 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
Varam uzskatīt, ka katra rūtiņa atbilst vienai kartītei un tajā ierakstītais skaitlis atbilst uz kartītes uzrakstītajam. Tabulas sadalīšana pa rindām atbilst sadalīšanai četrās grupās pa deviņām kartītēm katrā, bet pa kolonnām – deviņās grupās pa četrām kartītēm katrā. Abos gadījumos skaitļu summa visās grupās ir vienāda – attiecīgi \(27\) un \(12\).
Pieņemsim, ka šos skaitļus var sadalīt sešās grupās pa sešām kartītēm katrā tā, lai skaitļu summa visās grupās būtu vienāda. Tad skaitļu summai katrā grupā jābūt \(18\). Tā kā pavisam ir astoņas kartītes ar skaitli \(9\), tad pēc Dirihlē principa vismaz vienā grupā būs vairāk nekā viena kartīte ar skaitli \(9\). Ja grupā ir divas kartītes ar \(9\), tad jau uz šīm divām kartītēm uzrakstīto skaitļu summa ir \(18\) un uz atlikušajām četrām kartītēm uzrakstīto skaitļu summai jābūt \(0\), kas nav iespējams, jo mazākā iespējamā četru kartīšu summa ir \(4 \cdot 1 = 4\). Esam ieguvuši pretrunu, ko izraisīja pieņēmums, ka kartītes sešās grupās pa sešām katrā ar vienādu skaitļu kopsummu sadalīt ir iespējams.