Latvijā, tāpat kā visās eirozonas valstīs, apgrozībā ir \(1\); \(2\); \(5\); \(10\); \(20\) un \(50\) centu monētas. Pieņemsim, ka ir zināma no šīm monētām izveidotā naudas summa \(S\) un izmantoto monētu skaits \(M\). Daudzos gadījumos, zinot \(S\) un \(M\) vērtības, var noteikt precīzu izmantoto monētu komplektu. Piemēram, ja \(S=7\) un \(M=3\), tad ir izmantota viena piecu un divas viena centa monētas un citu variantu nav. Kāda ir mazākā \(M\) vērtība, kurai var atrast tādu \(S\) vērtību, ka, zinot \(S\) un \(M\) vērtības, izmantoto monētu komplektu viennozīmīgi nav iespējams noteikt?
Mazākā \(M\) vērtība ir \(3\), tai atbilst \(S = 12\) un atšķirīgie monētu komplekti var būt \(5 + 5 + 2\) un \(10 + 1 + 1\). Pierādīsim, ka tā ir mazākā iespējamā \(M\) vērtība. Ja \(M=1\), tad viena izmantotā monēta ir nosakāma viennozīmīgi, jo \(S\) ir jāsakrīt ar monētas vērtību. Aplūkosim gadījumu, ja \(M=2\), un visas iespējamās divu monētu vērtību summas:
| Ar 1 | Ar 2 | Ar 5 | Ar 10 | Ar 20 vai 50 |
|---|---|---|---|---|
| \(1+1=2\) | \(2+2=4\) | \(5+5=10\) | \(10+10=20\) | \(20+20 = 40\) |
| \(1+2=3\) | \(2+5=7\) | \(5+10=15\) | \(10+20=30\) | \(20+50 = 70\) |
| \(1+5=6\) | \(2+10=12\) | \(5+20=25\) | \(10+50=60\) | \(50+50 = 100\) |
| \(1+10=11\) | \(2+20=22\) | \(5+50=55\) | ||
| \(1+20=21\) | \(2+50=52\) | |||
| \(1+50=51\) |
Kā redzams, visas iespējamās summas ir dažādas, tātad monētu komplektu, ja \(M=2\), iespējams noteikt viennozīmīgi.
Mazākā \(M\) vērtība ir \(3\), tai atbilst \(S=12\) un atšķirīgie monētu komplekti var būt \(5 + 5 + 2\) un \(10 + 1 + 1\).
Pierādīsim, ka tā ir mazākā iespējamā 𝑀 vērtība. Ja \(M = 1\), tad viena izmantotā monēta ir nosakāma viennozīmīgi, jo \(S\) ir jāsakrīt ar monētas vērtību. Aplūkosim gadījumu, ja \(M = 2\). Pieņemsim, ka eksistē divi atšķirīgi veidi, kā izteikt doto summu ar divām monētām, tas ir, \(S = a_1 + a_2 = b_1 + b_2\).
Nezaudējot vispārīgumu, varam pieņemt, ka \(a_1\) ir vislielākā vērtība. Ja tā sakrīt ar kādu no vērtībām \(b_1\) vai \(b_2\), tad \(a_2\) jāsakrīt ar attiecīgi \(b_2\) vai \(b_1\), tātad šie monētu komplekti būs vienādi. Tātad \(b_1\) un \(b_2\) vērtības ir mazākas nekā \(a_1\) vērtība. Ievērosim, ka no dotajām monētu vērtībām 1; 2; 5; 10; 20 un 50 katra nākamā vērtība ir vismaz divas reizes lielāka nekā iepriekšējā. Tas nozīmē, ka \(a_1 \geq b_1 + b_2\). Tātad vienādība \(a_1 + a_2 = b_1 + b_2\) nav iespējama, jo vienādības kreisā puse noteikti ir lielāka nekā labā puse, un mūsu pieņēmums ir aplams.