Pierādīt, ka \(a^2c + ac^2 - 6abc + 3b^2c + ab^2 \geq 0\) visām pozitīvām reālām \(a\), \(b\) un \(c\) vērtībām!
Veicam ekvivalentus pārveidojumus:
\[\begin{array}{c} c(a^2 - 2 \cdot a \cdot 2b + 4b^2) + a(c^2 - 2bc + b^2) \geq 0;\\ c(a - 2b)^2 + a(c-b)^2 \geq 0. \\ \end{array}\]
Tā kā skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs un skaitļi \(a\) un \(c\) ir pozitīvi, tad pēdējās nevienādības kreisajā pusē ir divu nenegatīvu skaitļu summa, kas arī ir nenegatīvs skaitlis. Tātad pēdējā nevienādība ir patiesa. Tā kā tika veikti ekvivalenti pārveidojumi, tad arī dotā nevienādība ir patiesa visām pozitīvām \(a\), \(b\) un \(c\) vērtībām.