Uz katras no \(72\) kartītēm uzrakstīts kāds naturāls skaitlis (daži no tiem var būt arī vienādi). Kartītes iespējams sadalīt astoņās grupās pa deviņām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas. Kā arī kartītes iespējams sadalīt deviņās grupās pa astoņām kartītēm katrā tā, ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas. Vai vienmēr:
(A) visas kartītes var sadalīt sešās grupās pa \(12\) kartītēm katrā tā,
ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas;
(B) visas kartītes var sadalīt \(12\) grupās pa sešām kartītēm katrā tā,
ka visās grupās uz kartītēm uzrakstīto skaitļu summas ir vienādas?
Aplūkosim \(8 \times 9\) lielu rūtiņu tabulu:
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+ | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 9 | 2 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+ | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 9 | 1 | 2 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+ | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 9 | 1 | 1 | 2 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+ | 1 | 1 | 1 | 1 | 9 | 1 | 1 | 1 | 2 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+ | 1 | 1 | 1 | 9 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+ | 1 | 1 | 9 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+ | 1 | 9 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+ | 9 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | +---+---+---+---+---+---+---+---+---+
Varam uzskatīt, ka katra rūtiņa atbilst vienai kartītei un tajā ierakstītais skaitlis ir uz kartītes uzrakstītais skaitlis. Tabulas sadalīšana pa rindām atbilst sadalīšanai astoņās grupās pa deviņām kartītēm katrā, bet pa kolonnām – deviņās grupās pa astoņām kartītēm katrā. Abos gadījumos skaitļu summa visās grupās ir vienāda – attiecīgi \(18\) un \(16\). Visu skaitļu kopsumma ir \(144\).
(A) Pamatosim, ka aplūkotajam piemēram neizpildās šī prasība. Pieņemsim pretējo, ka šos skaitļus var sadalīt sešās grupās pa 12 kartītēm katrā tā, lai skaitļu summa visās grupās būtu vienāda. Tad skaitļu summai katrā grupā jābūt \(\frac{144}{6} = 24\). Tā kā kopā ir astoņas kartītes ar skaitli \(9\), tad pēc Dirihlē principa vismaz vienā grupā būs vairāk nekā viena kartīte ar \(9\). Ja grupā ir divas kartītes ar 9, tad uz atlikušajām \(10\) kartītēm uzrakstīto skaitļu summai jābūt \(24 − 2 \cdot 9 = 6\), kas nav iespējams, jo mazākā iespējamā summa ir \(10 \cdot 1 = 10\). Esam ieguvuši pretrunu, ko izraisīja pieņēmums, ka kartītes sešās grupās pa \(12\) katrā ar vienādu skaitļu kopsummu sadalīt ir iespējams.
(B) Pamatosim, ka aplūkotajam piemēram neizpildās šī prasība. Pieņemsim pretējo, ka šos skaitļus var sadalīt \(12\) grupās pa sešām kartītēm katrā tā, lai skaitļu summa visās grupās būtu vienāda. Tad skaitļu summai katrā grupā jābūt \(\frac{144}{12} = 12\). Nevienā grupā nevar būt vairāk kā viena kartīte ar skaitli \(9\), jo \(2 \cdot 9 = 18 > 12\). Ja grupā ir viena kartīte ar \(9\), tad uz atlikušajām piecām kartītēm uzrakstīto skaitļu summai jābūt \(12 − 9 = 3\), kas nav iespējams, jo mazākā iespējamā summa ir \(5 \cdot 1 = 5\). Esam ieguvuši pretrunu, ko izraisīja pieņēmums, ka ir iespējams sadalīt kartītes \(12\) grupās pa sešām katrā ar vienādu skaitļu kopsummu.