Pierādīt, ka \(9x^2 + 5y^2 − 8xy − 4x + 2 > 0\) visām reālām \(x\) un \(y\) vērtībām!
Veicam ekvivalentus pārveidojumus:
\[\begin{array}{c} (4x^2 − 8xy + 4y^2) + y^2 + (4x^2 − 4x + 1) + x^2 + 1 > 0;\\ (2x − 2y)^2 + y^2 + (2x − 1)^2 + x^2 + 1 > 0.\\ \end{array}\]
Tā kā skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs, tad pēdējās nevienādības kreisajā pusē ir četri nenegatīvi saskaitāmie un vēl pozitīvs skaitlis \(1\). Tātad pēdējā nevienādība ir patiesa. Tā kā tika veikti ekvivalenti pārveidojumi, tad arī dotā nevienādība ir patiesa visiem reāliem skaitļiem \(x\) un \(y\).