Vai noteikti \(x + \frac{9}{x} > y + \frac{9}{y}\), ja (A) \(x > y > 0\), (B) \(x > y > 3\)?
(A) Nē, piemēram, ja \(x=1\) un \(y=0.1\), tad \(x+\frac{9}{x}=10\) un \(y+\frac{9}{y}=90.1\), bet \(10<90.1\).
(B) Pamatosim, ka, ja \(x>y>3\), tad dotā nevienādība ir patiesa.
Nevienādības \(x+\frac{9}{x}>y+\frac{9}{y}\) abas puses reizinot ar pozitīvu izteiksmi \(xy\), iegūstam ekvivalentu nevienādību
\[x^{2} y+9 y>x y^{2}+9x\]
Lai pierādītu, ka dotā nevienādība ir patiesa, pietiek pamatot, ka \(x^{2}y + 9y - xy^{2} - 9x > 0\). Ievērojam, ka \(x-y>0\) un \(xy-9>0\), jo pēc dotā \(x>y>3\). Apskatām divu pozitīvu izteiksmju reizinājumu un to ekvivalenti pārveidojam:\[0 < (xy-9)(x-y)=x^{2}y - xy^{2} -9x + 9y\]
Līdz ar to esam ieguvuši vajadzīgo.