Sākums

LV.AMO.2022B.9.1

Cik ir tādu četrciparu skaitļu \(\overline{ABBA}\), kas dalās ar \(99\)? (Vienādiem burtiem atbilst vienādi cipari, dažādiem burtiem var atbilst arī vienādi cipari.)

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Pamatosim, ka ir 10 skaitlļi, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem: \(1881\), \(2772\), \(3663\), \(4554\), \(5445\), \(6336\), \(7227\), \(8118\), \(9009\), \(9999\).

Lai skaitlis dalītos ar \(99\), tam jādalās gan ar \(11\), gan ar \(9\). Ievērojam, ka dotais skaitlis dalās ar \(11\), jo tā ciparu summas, kas atrodas nepāra pozīcijās, un ciparu summas, kas atrodas pāra pozīcijās, starpība ir \((A+B)-(B+A)=0\), kas dalās ar \(11\).

Lai skaitlis dalītos ar \(9\), tā ciparu summai jādalās ar \(9\). Tātad \(A+B+B+A=2(A+B)\) jādalās ar \(9\). Tā kā \(A\) un \(B\) ir cipari, tad iespējami divi gadījumi: \(A+B=9\) vai \(A+B=18\).

Ja \(A+B=9\), tad iespējami devini gadijumi:

\[A+B=1+8=2+7=3+6=4+5=5+4=6+3=7+2=8+1=9+0\]

Ja \(A+B=18\), tad iespējams tikai viens gadijums \(A+B=9+9\).