Solution

The requirements can be satisfied in \(6\) different ways. In order to have a number \(\overline{N597M}\) divisible by \(12\), it must be divisible by \(3\) and by \(4\). To be divisible by \(4\), the last two digits must be divisible by \(4\). Let's look at two possible cases for the digit \(M\) to achieve divisiblity by \(4\).

• If \(M=2\), the sum of digits is \(N+5+9+7+2=N+23\). To be divisible by \(3\), the sum of its digits must be divisible by \(3\), so the possible values of \(N\) are \(1\), \(4\), or \(7\).
• If \(M=6\), the sum of digits is \(N+5+9+7+6=N+27\). To be divisible by \(3\), the sum of its digits must divisible by \(3\), so the possible values of \(N\) are \(0\), \(3\), \(6\), or \(9\). No number can begin with a \(0\), so the possible values of \(N\) are \(3\), \(6\), or \(9\).

As a result, there are six different options how to replace \(N\) and \(M\): \((N,M)=(1,2)\); \((N,M)=(4,2)\); \((N,M)=(7,2)\); \((N,M)=(3,6)\); \((N,M)=(6,6)\); \((N,M)=(9,6)\).

Atrisinājums

Prasīto var izdarīt \(6\) dažādos veidos.

Lai skaitlis \(\overline{N597M}\) dalītos ar 12, tam jādalās gan ar \(3\), gan ar \(4\). Lai skaitlis dalītos ar \(4\), tā pēdējo divu ciparu veidotajam skaitlim jādalās ar \(4\). Apskatīsim divus iespējamos gadījumus, kāds cipars var būt ierakstīts \(M\) vietā, lai skaitlis dalītos ar \(4\).

• Ja \(M=2\), tad skaitla ciparu summa ir \(N+5+9+7+2=N+23\). Lai skaitlis dalītos ar 3, tā ciparu summai jādalās ar \(3\), tāpēc iespējamās \(N\) vērtības ir \(1\), \(4\) vai \(7\).
• Ja \(M=6\), tad skaitla ciparu summa ir \(N+5+9+7+6=N+27\). Lai skaitlis dalítos ar 3, tā ciparu summai jādalās ar \(3\), tāpēc iespējamās \(N\) vērtības ir \(0\), \(3\), \(6\) vai \(9\). Tā kā skaitlis nevar sākties ar \(0\), iespējamās \(N\) vērtības ir \(3\), \(6\) vai \(9\).

Līdz ar to iespējami seši dažādi varianti, kādus ciparus var ierakstīt \(M\) un \(N\) vietā: \((N,M)=(1,2)\); \((N,M)=(4,2)\); \((N,M)=(7,2)\); \((N,M)=(3,6)\); \((N,M)=(6,6)\); \((N,M)=(9,6)\).