Tumšā rudens vakarā Māris izdomāja saskaitīt visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(n\), kur \(n\) ir kāds naturāls skaitlis. Vai var gadīties, ka Māris ieguva summu, kuras pēdējais cipars ir (A) \(8\), (B) \(9\)?
(A) Jā, var, piemēram, \(1+2+3+4+5+6+7=28\).
(B) Nē, nevar. Apskatām skaitlu summu \(S_{n}\) dažām \(n\) vērtībām:
Izveidosim tabulu, kurā rakstīsim skaitļa \(n\) pēdējo ciparu un skaitļu summas \(S_{n}\) pēdējo ciparu. Ievērojam, ka summas \(S_{n}\) pēdējo ciparu iegūstam, ja iepriekšējās summas pēdējam ciparam pieskaitām skaitļa \(n\) pēdējo ciparu.
| Skaitļa \(n\) pēdējais cipars | Summas \(S_{n}\) pēdējais cipars |
|---|---|
| \(\mathbf{1}\) | \(\mathbf{1}\) |
| 2 | 3 |
| 3 | 6 |
| 4 | 0 |
| 5 | 5 |
| 6 | 1 |
| 7 | 8 |
| 8 | 6 |
| 9 | 5 |
| 0 | 5 |
| 1 | 6 |
| 2 | 8 |
| 3 | 1 |
| 4 | 5 |
| 5 | 0 |
| 6 | 6 |
| 7 | 3 |
| 8 | 1 |
| 9 | 0 |
| 0 | 0 |
| \(\mathbf{1}\) | \(\mathbf{1}\) |
Tā kā tabulas pēdējā rindiņā skaitla \(n\) un summas \(S_{n}\) pēdējie cipari ir tādi paši kā pirmajā, tad tālāk vērtības tabulā sāks periodiski atkārtoties. Cipars \(9\) nav tabulas otrajā kolonnā, tāpēc tas nevar būt summas pēdējais cipars.