Sākums

LV.AMO.2022B.6.1

Uz papīra lapas uzrakstīti visi naturālie skaitļi no \(1\) līdz \(2022\) (katrs vienu reizi). Vispirms Amanda ar sarkanu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(3\). Tad viņa ar zilu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(5\). Un visbeidzot viņa ar zaļu zīmuli apvilka visus skaitļus, kas dalās ar \(7\). Cik ir tādu skaitļu, kas ir apvilkti ar vismaz divām dažādām krāsām?

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Pamatosim, ka \(249\) skaitlii ir apvilkti ar vismaz divu krāsu zīmuļiem.

Lai kāds skaitlis būtu apvilkts ar vismaz divu krāsu zīmuļiem, nepieciešams aplūkot visus skaitļus, kas dalās vismaz ar diviem no dotajiem skaitliem \(3\), \(5\) vai \(7\).

Ja skaitlis dalās ar \(3\) un \(5\), tad tas dalās ar \(15\). Tā kā \(2022=15 \cdot 134+12\), tad ar \(15\) dalās \(134\) skaiți no visiem uzrakstītajiem skaitliem.

Ja skaitlis dalās ar \(3\) un \(7\), tad tas dalās ar \(21\). Tā kā \(2022=21 \cdot 96+6\), tad ar 21 dalās 96 skaitli no visiem uzrakstītajiem skaitliem.

Ja skaitlis dalās ar \(5\) un \(7\), tad tas dalās ar \(35\). Tā kā \(2022=35 \cdot 57+27\), tad ar \(35\) dalās \(57\) skaitli no visiem uzrakstītajiem skaitliem.

Ievērojam, ka ir vairāki skaitli, kas vienlaicīgi dalās ar \(3\), \(5\) un \(7\), tātad tie dalās arī ar \(3 \cdot 5 \cdot 7=105\). Tā kā \(2022 = 105 \cdot 19 + 27\), tad ar \(105\) dalās \(19\) skaitļi no visiem uzrakstītajiem skaitļiem. Skaitļi, kas dalās ar \(105\), tiek ieskaitīti pie skaitļiem, kas dalās ar \(15\), \(21\) un \(35\), tātad tie tiek ieskaitīti trīs reizes. Secinām, ka kopā ir \(134+96+57-38 = 249\) skaitļi, kas dalās ar vismaz diviem skaitlliem, tātad tie ir apvilkti ar vismaz divu krāsu zīmuļiem.