Atrisinājums-1

Izdalām abas vienādojuma puses ar \(5\):

\[\frac{3}{5} \sin x+\frac{4}{5} \cos x=\frac{6}{5}.\]

Izvēlēsimies tādu šauru leņki \(\alpha\), ka \(\sin \alpha=\frac{4}{5}\). Tādā gadījumā \(\cos \alpha=\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}=\frac{3}{5}\) un vienādojumu varam pārrakstīt kā

\[\begin{aligned} & \sin x \cos \alpha+\cos x \sin \alpha=\frac{6}{5} \\ & \sin (x+\alpha)=\frac{6}{5} \end{aligned}\]

Tā kā sinusa vērtības nepārsniedz 1, tad šim vienādojumam atrisinājumu nav. Tātad arī dotajam vienādojumam atrisinājuma nav.

Atrisinājums-2

Izmantojot divkāršā leņka formulas un \(\cos ^{2} \frac{x}{2}+\sin ^{2} \frac{x}{2}=1\), iegūstam, ka

\[\begin{aligned} & 3 \cdot 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}+4\left(\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}\right)=6\left(\cos ^{2} \frac{x}{2}+\sin ^{2} \frac{x}{2}\right) \\ & 6 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}+4 \cos ^{2} \frac{x}{2}-4 \sin ^{2} \frac{x}{2}=6 \cos ^{2} \frac{x}{2}+6 \sin ^{2} \frac{x}{2} \\ & 2 \cos ^{2} \frac{x}{2}-6 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}+10 \sin ^{2} \frac{x}{2}=0 \end{aligned}\]

Abas vienādojuma puses dalot ar \(2 \sin ^{2} \frac{x}{2} \neq 0\), iegūstam, ka

\[\operatorname{ctg}^{2} \frac{x}{2}-3 \operatorname{ctg} \frac{x}{2}+5=0\]

Apzīmējot \(\operatorname{ctg} \frac{x}{2}=t\), iegūstam kvadrātvienādojumu \(t^{2}-3 t+5=0\), kura diskriminants \(D=(-3)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 5=-11<0\), tātad kvadrātvienādojumam nav sakņu, līdz ar to dotajam vienādojumam nav atrisinājuma.

Atrisinājums-3

No abām vienādojuma pusēm atņemot \(4 \cos x\), iegūstam, ka \(3 \sin x=6-4 \cos x\). Kāpinot abas vienādojuma puses kvadrātā, iegūstam, ka

\[9 \sin ^{2} x=36-48 \cos x+16 \cos ^{2} x\]

Izmantojot \(\sin ^{2} x=1-\cos ^{2} x\), iegūstam, ka

\[\begin{gathered} 9\left(1-\cos ^{2} x\right)=36-48 \cos x+16 \cos ^{2} x \\ 9-9 \cos ^{2} x=36-48 \cos x+16 \cos ^{2} x \\ 25 \cos ^{2} x-48 \cos x+27=0 \end{gathered}\]

Apzīmējot \(\cos x=t\), iegūstam kvadrātvienādojumu \(25 t^{2}-48 t+27=0\), kura diskriminants \(D=(-48)^{2}-4 \cdot 25 \cdot 27=48 \cdot 48-50 \cdot 54<0\), tātad kvadrātvienādojumam nav sakņu, līdz ar to arī dotajam vienādojumam nav sakņu.

Atrisinājums-4

Pierādīsim, ka izpildās nevienādība \(a \sin x+b \cos x \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}\). Kāpināsim abas nevienādības puses kvadrātā un izmantosim, ka \(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1\). Iegūstam, ka

\[\begin{gathered} (a \sin x+b \cos x)^{2} \leq\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right) \\ a^{2} \sin ^{2} x+2 a b \sin x \cos x+b \cos ^{2} x \leq a^{2} \sin ^{2} x+a^{2} \cos ^{2} x+b^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x \\ 0 \leq a^{2} \cos ^{2} x-2 a b \sin x \cos x+b^{2} \sin ^{2} x \\ (a \cos x-b \sin x)^{2} \geq 0 \end{gathered}\]

Tā kā nevienādība ir patiesa jebkurai \(a, b\) un \(x\) vērtībai, tad sākotnējā nevienādība \(a \sin x+b \cos x \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}\) ir patiesa. No tā izriet, ka \(3 \sin x+4 \cos x \leq \sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\), tātad dotajam vienādojumam nav sakņu.