Atrisinājums

Vispirms noskaidrosim, ar ko var būt kongruenti veselu skaitlu kubi pēc moduļa \(9\):

• ja \(n \equiv 0 \pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv 0^{3} \equiv 0 \pmod 9\);
• ja \(n \equiv 1 \pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv 1^{3} \equiv 1 \pmod 9\);
• ja \(n \equiv 2 \pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv 2^{3} \equiv 8 \equiv-1 \pmod 9\);
• ja \(n \equiv 3 \pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv 3^{3} \equiv 27 \equiv 0 \pmod 9\);
• ja \(n \equiv 4 \pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv 4^{3} \equiv 64 \equiv 1 \pmod 9\);
• ja \(n \equiv 5 \equiv-4 \pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv(-4)^{3} \equiv-4^{3} \equiv-1 \pmod 9\);
• ja \(n \equiv 6 \equiv-3 \pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv(-3)^{3} \equiv 0 \pmod 9\);
• ja \(n \equiv 7 \equiv-2 \pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv(-2)^{3} \equiv 1 \pmod 9\);
• ja \(n \equiv 8 \equiv-1 \pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv(-1)^{3} \equiv-1 \pmod 9\).

Tātad veselu skaitlu kubi ir kongruenti ar 0 vai \(\pm 1\) pēc moduļa 9. Aplūkosim, ar ko var būt kongruenta divu veselu skaitlu kubu summa pēc moduļa 9.

Tagad aplūkojam, ar ko var būt kongruenta trīs veselu skaitļu kubu summa pēc modula 9.

Esam ieguvuši, ka trīs šādu skaițu summa pēc moduļa 9 var pienemt jebkuru no vērtībām \(-3 ;-2 ;-1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3\) un nekādas citas. Tā kā \(2023^{2} \equiv 7^{2} \equiv 4 \equiv-5 \pmod 9\) neparādās starp šīm vērtībām, tad trīs veselu skaitļu kubu summa nevar būt \(2023^{2}\).