Atrisinājums

Vispirms noskaidrosim, ar ko var būt kongruenti veselu skaitlu kubi pēc moduļa \(9\):

• ja \(n \equiv 0\pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv 0^{3} \equiv 0\pmod 9\);
• ja \(n \equiv 1\pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv 1^{3} \equiv 1\pmod 9 ;\)
• ja \(n \equiv 2\pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv 2^{3} \equiv 8 \equiv-1\pmod 9\);
• ja \(n \equiv 3\pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv 3^{3} \equiv 27 \equiv 0\pmod 9\);
• ja \(n \equiv 4\pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv 4^{3} \equiv 64 \equiv 1\pmod 9\);
• ja \(n \equiv 5 \equiv-4\pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv(-4)^{3} \equiv-1\pmod 9\);
• ja \(n \equiv 6 \equiv-3\pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv(-3)^{3} \equiv 0\pmod 9\);
• ja \(n \equiv 7 \equiv-2\pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv(-2)^{3} \equiv 1\pmod 9\);
• ja \(n \equiv 8 \equiv-1\pmod 9\), tad \(n^{3} \equiv(-1)^{3} \equiv-1\pmod 9\).

Tātad veselu skaitlu kubi ir kongruenti ar 0 vai \(\pm 1\) pēc moduļa \(9\). Aplūkosim, ar ko var būt kongruenta divu veselu skaitllu kubu summa pēc moduļa \(9\).

Esam ieguvuši, ka divu šādu skaitlu summa pēc moduļa \(9\) var pieņemt jebkuru no vērtībām \(-2,-1,0,1,2\), taču nekādas citas. Tā kā \(2022 \equiv 6 \equiv-3 \pmod 9\) neparādās starp šīm vērtībām, tad divu veselu skaitļu kubu summa nevar būt \(2022\).