Atrisinājums-1

Skaitļa pēdējo ciparu noskaidrosim, apskatot doto skaitli pēc moduļa \(10\). Ievērosim, ka \(2022^{2022} \equiv 2^{2022}(\bmod 10)\). Tātad mums jānoskaidro skaitļa \(2^{2022}\) pēdējais cipars.

Virkne \(2^{n}, n=1,2, \ldots\), ir periodiska pēc moduļa \(10\), apskatīsim šīs virknes pirmos locekļus:

• ja \(n=1\), tad \(2^{1} \equiv 2 \pmod {10}\);
• ja \(n=2\), tad \(2^{2} \equiv 4 \pmod {10}\);
• ja \(n=3\), tad \(2^{3} \equiv 8 \pmod {10}\);
• ja \(n=4\), tad \(2^{4} \equiv 16 \equiv 6 \pmod {10}\);
• ja \(n=5\), tad \(2^{5} \equiv 32 \equiv 2 \pmod {10}\).

Šo informāciju ērti apkopot tabulā:

\(n\)	1	2	3	4	5	\(\ldots\)
\(2^{n} \pmod {10}\)	\(\mathbf{2}\)	4	8	6	\(\mathbf{2}\)	\(\ldots\)

Redzam, ka virkne \(2^{n}(\bmod 10)\) ir periodiska ar perioda garumu \(4\). Tā kā \(2022=4 \cdot 505+2\), tad virknes 2022.locekļa pēdējais cipars būs tāds pats kā virknes 2.locekļa pēdējais cipars, tātad pēdējais cipars būs \(4\). Līdz ar to esam ieguvuši, ka skaitļa \(2022^{2022}\) pēdējais cipars ir \(4\).

Atrisinājums-2

Skaitļa pēdējo ciparu noskaidrosim, apskatot doto skaitli pēc moduļa \(10\). Ievērojot, ka \(2^{4} \equiv 16 \equiv 6(\bmod 10)\) un \(6^{n} \equiv 6(\bmod 10)\), iegūstam

\[2022^{2022} \equiv 2^{2022} \equiv 2^{2020} \cdot 2^{2} \equiv\left(2^{4}\right)^{505} \cdot 4 \equiv 6 \cdot 4 \equiv 4 \pmod {10}\]

Līdz ar to esam ieguvuši, ka skaitla \(2022^{2022}\) pēdējais cipars ir \(4\).