Skaitļi \(a; b; c\) (tieši šādā secībā) veido aritmētisko progresiju. Pierādīt, ka skaitļi \(a^{2}-bc\); \(b^{2}-ac\); \(c^{2}-ab\) (tieši šādā secībā) arī veido aritmētisko progresiju!
Tā kā skaitļi \(a; b; c\) veido aritmētisko progresiju, tad tos varam pierakstīt kā \(b-d; b; b+d\), kur \(d\) ir diference. Izmantojot \(b\) un \(d\), izsakām arī citus skaitļus:
\[\begin{array}{ll} a^{2}-bc=(b-d)^{2}-b(b+d)=b^{2}-2bd+d^{2}-b^{2}-bd=d^{2}-3bd \\ \text { o } & b^{2}-ac=b^{2}-(b-d)(b+d)=b^{2}-b^{2}+d^{2}=d^{2} \\ c^{2}-ab=(b+d)^{2}-(b-d)b=b^{2}+2bd+d^{2}-b^{2}+bd=d^{2}+3bd \end{array}\]
Ievērojam, ka katru nākamo no šiem trīs skaitļiem iegūst, iepriekšējam skaitlim pieskaitot \(3bd\) (progresijas diference). Tātad skaitļi \(a^{2}-bc; b^{2}-ac; c^{2}-ab\) veido aritmētisko progresiju.