Sākums

LV.AMO.2022A.7.5

Trijzemē apgrozībā ir trīs veidu monētas: \(2\) centi, \(5\) centi un vēl viena. Zināms, ka gan trijkāji, kas maksā \(13\) centus, gan trīsriteni, kas maksā \(19\) centus, var nopirkt, maksājot tieši ar trīs monētām. Kāda ir Trijzemes trešās monētas vērtība? Atrodi visus iespējamos variantus un pamato, ka citu nav!

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Pamatosim, ka vienīgā iespējamā trešās monētas vērtība ir \(9\) centi.

Šķirosim gadījumus, cik nezināmās monētas varētu būt izmantotas \(13\) un \(19\) centu iegūšanai.

  • Nevar būt izmantotas trīs nezināmās monētas, jo ne \(13\), ne \(19\) nedalās ar \(3\).
  • Nevar būt tā, ka nav izmantota neviena nezināmā monēta, jo ne \(13\), ne \(19\) centus nevar iegūt, izmantojot tikai \(2\) un \(5\) centu monētas.
  • Ja būtu izmantotas divas nezināmās monētas, tad to summa būtu pāra skaitlis. Tā kā trīs monētu vērtību summai jābūt nepāra skaitlim (\(13\) vai \(19\)), tad trešajai izmantotajai monētai arī jābūt nepāra skaitlim, tas nozīmē, ka tai jābūt \(5\) centu monētai. Tad iegūstam, ka

    • \(13=5+4+4\), taču no monētām ar vērtībām \(2; 4; 5\) centi nevar iegūt \(19\) centus;

    • \(19=5+7+7\), taču no monētām ar vērtībām \(2; 5; 7\) centi nevar iegūt \(13\) centus.

Līdz ar to ne \(13\), ne \(19\) centu iegūšanai nevar būt izmantotas divas nezināmās monētas.

  • Ja minēto vērtību iegūšanai izmantota tieši viena nezināmā monēta, tad abu pārējo monētu summa varētu būt

    • \(2+2\), un varam izteikt \(13=2+2+\mathbf {9},19=2+2+15\)

    • \(2+5\), un varam izteikt \(13=2+5+6,19=2+5+12\);

    • \(5+5\), un varam izteikt \(13=5+5+3,19=5+5+\mathbf {9}\)

Ievērojam, ka vienīgā monētas vērtība, kas sakrīt, ir \(9\). Līdz ar to esam ieguvuši, ka vienīgā iespējamā trešās monētas vērtība ir \(9\) centi.