Ja naturāla sešciparu skaitļa visus nepāra ciparus aizvietotu ar \(7\), iegūtu skaitli, kas ir par \(5998\) lielāks nekā sākotnējais skaitlis. Savukārt, ja sākotnējā skaitlī ar \(7\) aizvietotu visus pāra ciparus, tad iegūtais skaitlis būtu par \(500290\) lielāks nekā sākotnējais. Atrast doto sešciparu skaitli!
Apzīmējam doto skaitli ar \(x\), skaitli, ko iegūst visus pāra ciparus aizstājot ar septītniekiem, apzīmējam ar \(A\) un skaitli, ko iegūst visus nepāra ciparus aizstājot ar septītniekiem, apzīmējam ar \(B\).
Pamatosim, ja diviem skaitļiem samaina vietām to vienas šķiras ciparus, tad šo skaitļu summa nemainās. Pieņemsim, ka vienam skaitlim \(n\)-tās šķiras cipars ir \(a\), bet otram \(b\), pieņemsim arī, ka \(a>b\). Tad pirmajam skaitlim ciparu \(a\) aizstājot ar \(b\), šis skaitlis samazinās par \((a-b) \cdot 10^{n}\). Otrajam skaitlim ciparu \(b\) aizstājot ar \(a\) tas palielinās par \((a-b) \cdot 10^{n}\). Tātad abu skaitļu summa nemainās.
Aplūkojam summu \(A+B\). Katrā šķirā (vienos, desmitos, simtos utt.) šiem diviem skaitļiem viens cipars ir "oriģinālais" (kas bija skaitlī \(x\)), bet otrs ir septītnieks. Samainīsim katrā šķirā šos ciparus tā, lai septītnieks atrastos otrajā skaitlī, bet "oriģinālais" cipars - pirmajā.
Tad pirmais skaitlis pārvēršas par \(x\), bet otrais - par skaitli, kas sastāv no sešiem septītniekiem. Tā kā šīs darbības rezultātā skaitļu summa nemainās, tad \(A+B=x+777777\).
Pēc dotā \(A=x+500290\), bet \(B=x+5998\). Atrisinot vienādojumu
\[(x+500290)+(x+5998)=x+777777\]
iegūstam, ka \(x=271489\). Pārbaudām, ka skaitlis \(271489\) apmierina uzdevuma nosacījumus: - aizvietojot šī skaitļa nepāra ciparus ar \(7\), iegūstam \(277487=271489+5998\), - aizvietojot šī skaitļa pāra ciparus ar \(7\), iegūstam \(771779=271489+500290\).