Atrisinājums

(A) Tā kā \(AC=AM\), tad trijstūris \(MAC\) ir vienādsānu un \(\sphericalangle ACM=\sphericalangle AMC=\alpha\) (skat. 24.att.). No taisnleņķa trijstūra \(MAP\) iegūstam, ka \(\sphericalangle APM=90^{\circ}-\alpha\). Ievērojam, ka \(\sphericalangle CPB=\sphericalangle APM=90^{\circ}-\alpha\) kā krustleņķi un \(\sphericalangle PCB=\sphericalangle ACB-\sphericalangle ACM=90^{\circ}-\alpha\). Tā kā \(\sphericalangle CPB=\sphericalangle PCB\), tad trijstūris \(CBP\) ir vienādsānu.

(B) Pierādīsim, ka četrstūra \(QNBC\) pretējās malas ir pa pāriem paralēlas (skat. 25.att.).

Vienādsānu trijstūrī \(ACB\) novelkam augstumu \(CR\), kas ir arī mediāna un bisektrise. Tā kā \(CR \perp AB\) un \(AR=RB\), tad taisne \(CR\) iet arī caur taisnstūra pretējās malas \(MN\) viduspunktu \(L\). Līdz ar to arī \(Q\) pieder taisnei \(CR\) un no tā, ka \(CR \perp AB\) un \(BN \perp AB\), izriet \(CQ \parallel BN\).

Trijstūris \(ACB\) ir vienādsānu taisnleņķa trijstūris, tāpēc \(\sphericalangle CBA=45^{\circ}\).

No (A) gadījumā pierādītā izriet, ka \(PB=CB=BN\). Tātad trijstūris \(PBN\) ir vienādsānu taisnleņķa trijstūris, tāpēc \(\sphericalangle BNP=45^{\circ}\). Esam ieguvuši, ka \(\sphericalangle CBN+\sphericalangle BNP=45^{\circ}+90^{\circ}+45^{\circ}=180^{\circ}\), tātad \(CB \parallel QN\), jo iekšējo vienpusleņķu summa ir \(180^{\circ}\).

Tā kā \(QNBC\) ir paralelograms (jo tā pretējās malas ir pa pāriem paralēlas) un \(CB=BN\), tad \(QNBC\) ir rombs.