Atrisinājums

Pamatosim, ka virknes \(2018.\) loceklis ir skaitlis \(\left(-\frac{1}{3}\right)\). Aprēķinām dažus nākamos virknes locekļus:

• virknes \(2.\) loceklis ir \(-\frac{1}{3}\), jo \(\frac{1}{1-4}=\frac{1}{-3}\);
• virknes \(3.\) loceklis ir \(\frac{3}{4}\), jo \(\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}\);
• virknes \(4.\) loceklis ir \(4\), jo \(\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4\).

Līdz ar to virknes sākums ir \(4; -\frac{1}{3}; \frac{3}{4}; 4;-\frac{1}{3}; \frac{3}{4}; \ldots\) Tā kā katrs nākamais virknes loceklis ir atkarīgs tikai no viena iepriekšējā, tad, līdzko parādās kāds šajā virknē jau iepriekš bijis skaitlis, izveidojas periods. Tā kā virknes pirmais un arī ceturtais loceklis skaitlis \(4\), tad virkne ir periodiska ar periodu \(\left(4; -\frac{1}{3}; \frac{3}{4}\right)\). Tā kā \(2018=3 \cdot 672+2\), tad \(2018.\) loceklis ir periodā otrais, tātad tas ir \(\left(-\frac{1}{3}\right)\).

Periodā esošo skaitļu summa ir \(4-\frac{1}{3}+\frac{3}{4}=\frac{48-4+9}{12}=\frac{53}{12}\). Tā kā pirmajos \(2018\) virknes locekļus veido \(672\) šādas pilnas grupas un vēl \(2\) locekļi, tad virknes pirmo \(2018\) locekļu summa ir

\[\frac{53}{12} \cdot 672+4-\frac{1}{3}=53 \cdot 56+4-\frac{1}{3}=2971 \frac{2}{3}\]