Atrisinājums

Izmantojot aritmētiskās progresijas pirmo \(n\) locekļu summas formulu, iegūstam, ka \(1+2+\cdots+n=\frac{(n+1)n}{2}\). Tātad pietiek pierādīt, ka visām naturālām \(n\) vērtībām izpildās

\[1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\]

Izmantosim matemātiskās indukcijas metodi. *Indukcijas bāze.* Ja \(n=1\), tad \(1^{3}=\frac{1^{2} \cdot 2^{2}}{4}\) jeb \(1=1\). *Induktīvais pieņēmums.* Pieņemsim, ka vienādība izpildās, ja \(n=k\), tas ir,

\[1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+k^{3}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}\]

*Induktīvā pāreja.* Pierādīsim, ka vienādība ir spēkā arī tad, ja \(n=k+1\), tas ir,

\[1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}\]

Pārveidojam vienādības kreisās puses izteiksmi:

\[\begin{gathered} \underbrace{1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+k^{3}}_{\text {induktivais pienēmums }}+(k+1)^{3}= \\ =\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2}}{4}\left(k^{2}+4(k+1)\right)=\frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4} \end{gathered}\]

*Secinājums.* Tā kā vienādība ir patiesa, ja \(n=1\), un no tā, ka vienādība ir spēkā, ja \(n=k\), izriet, ka vienādība ir spēkā arī \(n=k+1\), secinām, ka vienādība ir spēkā visām naturālām \(n\) vērtībām.