Sākums

LV.AMO.2017.9.3

Dots trijstūris \(ABC\), kuram \(AB>AC>BC\). Virsotnes \(A\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(BC\) pagarinājumu punktā \(D\), bet virsotnes \(C\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(AB\) pagarinājumu punktā \(E\). Zināms, ka \(AD=AC=CE\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Apzīmējam \(\sphericalangle BCE=\alpha\) (skat. 22.att.). Tad no bisektrises definīcijas un blakusleņķu īpašības izriet, ka \(\sphericalangle ACE=180^{\circ}-\alpha\). Izmantojot krustleņķu īpašību un vienādsānu trijstūra īpašību, iegūstam, ka \(\sphericalangle ADC=\sphericalangle ACD=2 \sphericalangle BCE=2 \alpha\) un \(\sphericalangle DAC=180^{\circ}-4 \alpha\).

Izsakām \(\sphericalangle CAE=180^{\circ}-2 \sphericalangle DAC=180^{\circ}-\left(360^{\circ}-8 \alpha\right)=8 \alpha-180^{\circ}\). Tā kā trijstūris \(ACE\) ir vienādsānu, tad \(\sphericalangle CAB=\sphericalangle AEC=8 \alpha-180^{\circ}\).

No trijstūra \(ACE\) iegūstam, ka

\[\begin{gathered} 2 \sphericalangle CAE+\sphericalangle ACE=180^{\circ}; \\ 2\left(8 \alpha-180^{\circ}\right)+180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}; \\ 15 \alpha=360^{\circ}. \end{gathered}\]

Tātad \(\alpha=24^{\circ}\), un varam aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus: \(\sphericalangle BAC=8 \cdot 24^{\circ}-180^{\circ}=12^{\circ}; \sphericalangle ACB=180^{\circ}-2 \cdot 24^{\circ}=132^{\circ}\) un \(\sphericalangle ABC=180^{\circ}-132^{\circ}-12^{\circ}=36^{\circ}\).

Atrisinājums

Apzīmējam \(\sphericalangle BCE=\alpha\) un \(\sphericalangle CAD=\beta\) (skat. 22.att.). Tad pēc bisektrises definīcijas un blakusleņķu īpašības \(\sphericalangle ACE=180^{\circ}-\alpha\) un \(\sphericalangle ACB=180^{\circ}-2 \alpha\).

No vienādsānu trijstūra \(ACE\) iegūstam, ka \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle AEC=\frac{\alpha}{2}\). Līdz ar to \(2 \sphericalangle CAD+\sphericalangle BAC=180^{\circ}\) jeb \(2 \beta+\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}\). No vienādsānu trijstūra \(ACD\) iegūstam, ka \(\sphericalangle ADC=\sphericalangle ACD=2 \alpha\) un \(4 \alpha+\beta=180^{\circ}\). Esam ieguvuši vienādojumu sistēmu: \(\left\{\begin{array}{l}2 \beta+\frac{\alpha}{2}=180^{\circ} \\ 4 \alpha+\beta=180^{\circ}\end{array}\right.\). Reizinot otro vienādojumu ar \((-2)\) un saskaitot abus vienādojumus iegūstam \(\frac{\alpha}{2}-8 \alpha=180^{\circ}-360^{\circ}\) jeb \(-15 \alpha=-360^{\circ}\). Tātad \(\alpha=24^{\circ}\), un varam aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus: \(\sphericalangle BAC=24^{\circ}: 2=12^{\circ};\ \sphericalangle ACB=180^{\circ}-2 \cdot 24^{\circ}=132^{\circ}\) un \(\sphericalangle ABC=180^{\circ}-132^{\circ}-12^{\circ}=36^{\circ}\).