Dots trijstūris \(ABC\), kuram \(AB>AC>BC\). Virsotnes \(A\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(BC\) pagarinājumu punktā \(D\), bet virsotnes \(C\) blakusleņķa bisektrise krusto malas \(AB\) pagarinājumu punktā \(E\). Zināms, ka \(AD=AC=CE\). Aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus!
Apzīmējam \(\sphericalangle BCE=\alpha\) un \(\sphericalangle CAD=\beta\) (skat. 22.att.). Tad pēc bisektrises definīcijas un blakusleņķu īpašības \(\sphericalangle ACE=180^{\circ}-\alpha\) un \(\sphericalangle ACB=180^{\circ}-2 \alpha\).
No vienādsānu trijstūra \(ACE\) iegūstam, ka \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle AEC=\frac{\alpha}{2}\). Līdz ar to \(2 \sphericalangle CAD+\sphericalangle BAC=180^{\circ}\) jeb \(2 \beta+\frac{\alpha}{2}=180^{\circ}\). No vienādsānu trijstūra \(ACD\) iegūstam, ka \(\sphericalangle ADC=\sphericalangle ACD=2 \alpha\) un \(4 \alpha+\beta=180^{\circ}\). Esam ieguvuši vienādojumu sistēmu: \(\left\{\begin{array}{l}2 \beta+\frac{\alpha}{2}=180^{\circ} \\ 4 \alpha+\beta=180^{\circ}\end{array}\right.\). Reizinot otro vienādojumu ar \((-2)\) un saskaitot abus vienādojumus iegūstam \(\frac{\alpha}{2}-8 \alpha=180^{\circ}-360^{\circ}\) jeb \(-15 \alpha=-360^{\circ}\). Tātad \(\alpha=24^{\circ}\), un varam aprēķināt trijstūra \(ABC\) leņķus: \(\sphericalangle BAC=24^{\circ}: 2=12^{\circ};\ \sphericalangle ACB=180^{\circ}-2 \cdot 24^{\circ}=132^{\circ}\) un \(\sphericalangle ABC=180^{\circ}-132^{\circ}-12^{\circ}=36^{\circ}\).