Vai uz parabolas \(y=x^{2}+6x+6\) ir punkts, kura (A) abscisa un ordināta ir vienādas; (B) ordināta ir trīs reizes lielāka nekā abscisa?
(A) Jā, uz parabolas ir šāds punkts. Ja punkta abscisa un ordināta ir vienādas, tad \(y=x\) un iegūstam vienādojumu \(x=x^{2}+6x+6\) jeb \(x^{2}+5x+6=0\), kura saknes ir \(x_{1}=-2\) un \(x_{2}=-3\) Tātad meklētā punkta koordinātas ir \((-2; -2)\) vai \((-3; -3)\).
(B) Pierādīsim, ka uz parabolas nav šāda punkta. Ja punkta ordināta ir trīs reizes lielāka nekā abscisa, tad \(y=3x\) un iegūstam vienādojumu \(3x=x^{2}+6x+6\) jeb \(x^{2}+3x+6=0\). Tā kā diskriminats \(D=9-24=-15<0\), tad atbilstošajam vienādojumam nav reālu sakņu un nevar atrast tādu \(x\) vērtību, ka \(y=3x\) un punkts atrodas uz parabolas.