Atrisinājums-1

Tā kā \(BK=HC, \sphericalangle KBC=\sphericalangle HCB\) un \(BC\) -- kopīga mala (skat. A12.att.), tad \(\triangle BCK=\triangle BCH\) pēc pazīmes "\(m \ell m\)". Līdz ar to \(\sphericalangle BKC=\sphericalangle CHB=90^{\circ}\) (kā atbilstošie leņķi vienādos trijstūros). Tātad \(BK\) ir gan augstums, gan mediāna, līdz ar to \(\triangle ABC\) ir vienādsānu trijstūris (\(AB=BC\)). Izmantojot trijstūra laukuma aprēķināšanas formulu, iegūstam \(S_{ABC}=\frac{1}{2} AB \cdot CH=\frac{1}{2} AC \cdot BK\). Tā kā \(CH=BK\), tad arī \(AB=AC\). Tātad \(AB=AC=BC\) un \(\triangle ABC\) ir vienādmalu trijstūris.

Atrisinājums-2

Tā kā \(BK=HC, \sphericalangle KBC=\sphericalangle HCB\) un \(BC\) -- kopīga mala (skat. A12.att.), tad \(\triangle BCK=\triangle BCH\) pēc pazīmes " \(m \ell m\) ". Līdz ar to \(\sphericalangle BKC=\sphericalangle CHB=90^{\circ}\) (kā atbilstošie leņķi vienādos trijstūros) un \(BK\) ir augstums no virsotnes \(B\) pret malu \(AC\). Tā kā \(AK=KC\), \(\sphericalangle AKB=\sphericalangle KBC=90^{\circ}\) un \(BK\)- kopīga mala, tad \(\triangle AKB=\triangle BCK\) pēc pazīmes " \(m \ell m\) ". No kā izriet, ka \(\sphericalangle ABK=\sphericalangle KBC\). Izmantojot trijstūra iekšējo leņķu summu, iegūstam

• no \(\triangle HCB: \sphericalangle HBC+\sphericalangle BCH+\sphericalangle CHB=180^{\circ}\);
  \(2 \cdot \sphericalangle ABK+\sphericalangle ABK+90^{\circ}=180^{\circ}\)
  \(3 \cdot \sphericalangle ABK=90^{\circ}\) jeb \(\sphericalangle ABK=30^{\circ}\)

• no \(\triangle ABK: \sphericalangle BAC=180^{\circ}-\sphericalangle ABK-\sphericalangle AKB=180^{\circ}-30^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}\);

• no \(\triangle ABC: \sphericalangle BCA=180^{\circ}-\sphericalangle BAC-\sphericalangle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}-2 \cdot 30^{\circ}=60^{\circ}\).

Esam ieguvuši, ka katrs trijstūra \(ABC\) leņķis ir \(60^{\circ}\), tātad \(\triangle ABC\) ir vienādmalu trijstūris.