Skaitļu virknei \(\left(a_{i}\right)\) visiem \(n > 1\) ir spēkā sakarība \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}=n^{2} a_{n}\). Aprēķināt \(a_{50}\), ja zināms, ka \(a_{1}=1000\).
Ievērojam, ka \(a_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n-1}}{n^{2}-1}\).
Aprēķināsim dažu pirmo virknes elementu vērtības atkarībā no \(a_{1}\) vērtības:
\[\begin{aligned} & a_{2}=a_{1} \frac{1}{2^{2}-1} \\ & a_{1}+a_{2}=a_{1}\left(1+\frac{1}{2^{2}-1}\right)=a_{3}\left(3^{2}-1\right) \\ & a_{3}=a_{1}\left(1+\frac{1}{2^{2}-1}\right) \frac{1}{3^{2}-1} \\ & a_{1}+a_{2}+a_{3}=a_{1}\left(1+\frac{1}{2^{2}-1}\right)\left(1+\frac{1}{3^{2}-1}\right)=a_{4}\left(4^{2}-1\right) \end{aligned}\]
Vispārīgā veidā (pierādījums ar matemātiskās indukcijas metodi):\[a_{n}\left(n^{2}-1\right)=a_{1}\left(1+\frac{1}{2^{2}-1}\right)\left(1+\frac{1}{3^{2}-1}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{(n-1)^{2}-1}\right)=a_{1} \frac{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot \ldots \cdot(n-1)^{2}}{\left(2^{2}-1\right)\left(3^{2}-1\right) \ldots\left((n-1)^{2}-1\right)}\]
Izmantojot formulu \(x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\), vienkāršojam iegūto vienādību:\[a_{n}=a_{1} \frac{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot \ldots \cdot(n-1)^{2}}{(1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot(n-2) \cdot(n-1)) \cdot(3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot n \cdot(n+1))}=a_{1} \frac{2}{n(n+1)}\]
Ievietojot skaitliskās vērtības, aprēķinām prasīto:\[a_{50}=1000 \cdot \frac{2}{50 \cdot 51}=\frac{40}{51}\]