Atrisinājums

Atbilde: Vislielākā vērtība ir \(1\) un vismazākā \(2^{-18}\).

Pamatojums:

(A) Tā kā \(0 \leq \sin ^{2} x \leq 1\), tad arī \(0 \leq \sin ^{36} x \leq 1\) un analogi arī \(0 \leq \cos ^{36} x \leq 1\), tāpēc

\(\sin ^{38} x+\cos ^{38} x \leq \sin ^{2} x \sin ^{36} x+\cos ^{2} x \cos ^{36} x \leq \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1\)

Ja \(x=0\), tad \(\sin ^{38} x+\cos ^{38} x=1\), tātad šī vērtība tiek sasniegta.

(B) Pierādīsim, ka visiem naturāliem skaitļiem \(n\) izpildās nevienādība \(\sin ^{2n} x+\cos ^{2n} x \geq 2^{1-n}\). To var izdarīt ar matemātisko indukciju.

Bāze: \(n=1\), ievietojot iegūst \(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x \geq 2^{0}=1\), nevienādība ir pareiza.

Induktīvā pāreja: Pieņemsim, ka apgalvojums jau ir pierādīts pie \(n=k\), un pierādīsim, ka tas ir spēkā arī pie \(n=k+1\). Tātad, pieņemsim, ka \(\sin ^{2k} x+\cos ^{2k} x \geq 2^{1-k}\), un pierādīsim, ka

\(\sin ^{2k+2} x+\cos ^{2k+2} x \geq \frac{1}{2}\left(\sin ^{2k} x+\cos ^{2k} x\right)\), no tā tad acīmredzami sekos prasītais.

Pareizinot kreiso pusi ar \(2\), bet labo - ar \(2(\left.\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\) iegūst:

\(2 \sin ^{2k+2} x \sin ^{2} x+2 \cos ^{2k+2} x \cos ^{2} x \geq \sin ^{2k} x\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)+\cos ^{2k} x\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\)

Pārnesot visu uz kreiso pusi, iegūst:

\(\sin ^{2k} x \sin ^{2} x-\sin ^{2k} x \cos ^{2} x-\cos ^{2k} x \sin ^{2} x+\cos ^{2k} x \cos ^{2} x \geq 0\)

ko sagrupējot iegūst:

\(\left(\sin ^{2k} x-\cos ^{2k} x\right)\left(\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right) \geq 0\),

kas ir pareiza nevienādība, jo abas iekavas ir vai nu pozitīvas, vai negatīvas.

Tātad \(\sin ^{38} x+\cos ^{38} x \geq 2^{-18}\). Šī vērtība tiek sasniegta, piemēram, ja \(x=y=\pi / 4\). Tad

\(\sin ^{38} \frac{\pi}{4}+\cos ^{38} \frac{\pi}{4}=\frac{1}{2^{19}}+\frac{1}{2^{19}}=\frac{1}{2^{18}}\).