Funkcijas \(f(t)\) definīcijas apgabals un vērtību apgabals ir kopa \(\{1;\ 2;\ \ldots;\ n\}\), pie tam visas vērtības ir dažādas. Vai iespējams, ka visi skaitļi \(|f(x)-x|,\ x=1;\ 2;\ \ldots;\ n\), ir dažādi, ja
(A) \(n=15\), (B) \(n=16\)?
(A) Pie \(n=15\) tas nav iespējams. Jābūt
\(|f(1)-1|+|f(2)-2|+\ldots+|f(15)-15|=0+1+\ldots+14\), jo vienīgās iespējamās moduļu vērtības ir \(0;\ 1;\ \ldots;\ 14\), tāpēc tām visām jāparādās. Ievērosim, ka atbrīvojoties no moduļu zīmēm, katrs skaitlis \(1;\ 2;\ 3;\ \ldots;\ 15\) kreisajā pusē parādās vai nu ar reizinātāju \(2\), var ar reizinātāju \((-2)\), vai ar reizinātāju \(0\), tātad kreisajā pusē ir pāra skaitlis. Bet \(0+1+\ldots+14=105\), kas ir nepāra skaitlis - pretruna.
(B) Pie \(n=16\) piemēru skat. tabulā:
| \(\boldsymbol{n}\) | \(\boldsymbol{f(n)}\) | \(\boldsymbol{n}-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{n})\) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(16\) | \(15\) |
| \(2\) | \(15\) | \(13\) |
| \(3\) | \(14\) | \(11\) |
| \(4\) | \(13\) | \(9\) |
| \(5\) | \(11\) | \(6\) |
| \(6\) | \(10\) | \(4\) |
| \(7\) | \(9\) | \(2\) |
| \(8\) | \(1\) | \(7\) |
| \(9\) | \(8\) | \(1\) |
| \(10\) | \(7\) | \(3\) |
| \(11\) | \(6\) | \(5\) |
| \(12\) | \(12\) | \(0\) |
| \(13\) | \(5\) | \(8\) |
| \(14\) | \(4\) | \(10\) |
| \(15\) | \(3\) | \(12\) |
| \(16\) | \(2\) | \(14\) |