Pierādīt, bezgalīgi daudziem pirmskaitļiem \(p\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y\), ka \(2x^2 + 2x + 1 = py\).
Jāpierāda, ka polinoma \(2x^{2}+2x+1\) vērtības, kur \(x=1,2,3, \ldots, n, \ldots\), dalās ar bezgalīgi daudziem pirmskaitļiem.
Pien̦emsim pretêjo, ka šīs vērtības dalās tikai ar galīgu daudzumu pirmskaitļu \(P_{1}\), \(P_{2}, P_{3}, \ldots, P_{\mathrm{n}}\). Aplūkosim vērtību \(x_{0}=P_{1} P_{2} P_{3} \cdots P_{n}\). Tad \(2 x_{0}^{2}+2 x_{0}+1\) nedalās ne ar \(P_{1}\), ne ar \(P_{2}\), ne ar \(P_{3}, \ldots\) ne ar \(P_{\mathrm{n}}\) -- visos gadijumos rodas atlikums \(1\). Bet \(2x_{0}^{2}+2x_{0}+1\) ar vismaz vienu pirmskaitli (varbūt pats ar sevi) noteikti dalās. Tātad \(2 x_{0}^{2}+2 x_{0}+1\) dalās ar kādu citu pirmskaitli, ne ar \(P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots, P_{\mathrm{n}}\). Iegūta pretruna.
Izdalīt ar atlikumu:
(A) \(1996\) ar \(11\),
(B) \(200\) ar \(10\),
(C) \(15\) ar \(1\),
(D) \(0\) ar \(5\),
(E) \(-17\) ar \(3\),
(F) \(3 ar \)12\(,
**(G)** \)-3\( ar \)12\(,
**(H)** \)-18\( ar \)3\(,
**(I)** \)-111\( ar \)7$.
(A) \(1996=11 \times 181+5\); \(181\) ir nepilnais dalījums, \(5\) ir atlikums. (B) \(200=10 \times 20+0\); (C) \(15=1 \times 15+0\); (D) \(0=5 \times 0+0\); (E) \(-17=3 \times(-6)+1\); (F) \(3=12 \times 0+3\); (G) \(-3=12 \times(-1)+9\); (H) \(-18=3 \times(-6)+0\); (I) \(-111=7 \times(-16)+1\).
Ar Eiklīda algoritmu aprēķināt:
(A) \((33,18)\),
(B) \((1260,406)\),
(C) \((56,39)\),
(D) \((312,138)\).
\(a = 18q+12 = 3(6q+4)+0\). Skaitli \(a\) dalot ar \(3\), atlikumā iegūsim \(0\).
Dots, ka \((a,b)=6\). Kādas vērtības var pien̦emt sekojošie skaitļi?
(A) \((a, b+5a)\),
(B) \((8a+3b, 5a+2b)\),
(C) \((4a, 4b)\),
(D) \((a, 2b)\),
(E) \((5a, 2b)\),
(F) \((4a+6b, 6a+8b)\).
(A) \((a, b+5 a)=(a, b+5 a-5 a)=(a, b)=6\);
(B) Izmantojot LKD 2.īpašību, pārveidojam izteiksmes tā, lai samazinātos koeficients pie \(b\), lîdz tas kļūs vienāds ar \(0\).
\((8a+3b, 5a+2b) = (8a+3b-(5a+2b), 5a+2b) = (3a+b, 5a+2b) =\)
\((3a+b\), 5a+2b -2(3a+b)) = (3a+b,-a) = (3a+b-3a,-a) = (b,-a) = (b,-a) = (b, a) = 6\(.
Rēķinot LKD, nen̦em vērā skaitļa zīmi.
**(C)** \)(4a, 4b) = 4(a,b)=24\( (īpašība LKD2.).
**(D)** Apzīmēsim \)(a, 2 b)=x\(.
Skaidrs, ka \)(a, b) \mid(a, 2b)\( un \)(a, 2b) \mid (2a, 2b) = 2(a,b)\(;
t.i. \)6 \mid x\( un \)x \mid 12\(. Tātad \)x=6\( vai \)x=12\(. Parādīsim, ka ir iespējamas abas atbildes:
* ja \)a=6\(, \)b=18, tad \((a, b)=6\) un \((a, 2 b)=6\);
* ja \(a=12\), \(b=6\), tad \((a, b)=6\) un \((a, 2 b)=12\).
(E) Apzīmēsim \((5a, 2b)=x\); pastāv šādas sakarības:
\((a, b) \mid(5a, 2b)\) un \((5a, 2b) \mid (10a, 10b) = 10(a,b)\),
jeb \(6 \mid x\) un \(x \mid 60\). Tātad \(x\) var pienemt vērtības \(6,12,30,60\).
(Ar piemēriem jāparāda, ka tādas vērtības tiešām realizējas).
(F) \((4 a+6 b, 6 a+8 b)=(4 a+6 b,(6 a+8 b)-(4 a+6 b))=(4 a+6 b, 2 a+2 b)=\)
\((4a+6b-2(2a+2b), 2a+2b) = (2b, 2a+2b) = (2b, 2a) = 2(b, a)=12\).
Dots, ka \((x, y)=10\). Kādas vērtības var pien̦mt sekojošie skaitļi?
(A) \((x, y+3x)\),
(B) \((3x+7y, 2x+5y)\),
(C) \((x, 2y)\),
(D) \((3x, 3y)\),
(E) \((3x, 2y)\),
(F) \((2x+2y, 3x+4y)\),
(G) \((4x+6y, 6x+10y)\),
(H) \((30x+14y, 21x+10y)\).
Atbildes: (A) 10 ; (B) 10 ; (C) \(10 ; 20\); (D) 30; (E) \(10;20;30;60\); (F) \(10;20\); (G) \(20\); (H) \(10;20;30;60\).
Dots, ka \(10 \mid (4a+3b)\) un \(10 \mid (3a+5b)\). Pierādiet, ka \(10 \mid a\) un \(10 \mid b\).
\(11a = 5(4a+3b) - 3(3a+5b)\) dalās ar \(10\) (īpašība D3). Tā kā \((10,11)=1\), tad \(10 \mid a\) (īpašība L5). \(3(4a+3b) - 4(3a+5b) = -11b\) dalās ar \(10\). Tātad arī \(b\) dalās ar \(10\).
Pierādiet, ka trīs pēc kārtas n̦emtu naturālu skaițlu reizinājums dalās ar \(6\).
Pierāda, ka šis reizinājums dalās ar \(2\) un ar \(3\).
Dots, ka \(6 \mid(3a-8b)\) un \(6 \mid (2a-3b)\). Pierādiet, ka \(36 \mid \left(a^{2} + ab + b^{2}\right)\).
\(2(3a-8b)-3(2a-3b)=-7b\) dalās ar \(6\). Tātad \(b\) dalās ar \(6\). Līdzīgi pierāda, ka \(a\) dalās ar \(6\). No īpašības D5 seko, ka skaitli \(a^{2}\), \(ab\) un \(b^{2}\) dalās ar \(36\). Tātad \(\left( a^{2}+ab+b^{2} \right)\) dalās ar \(36\).
Pierādiet, ka skaitļi \(\left(n^{3}-1\right)/(n-1)\) un \((n+1)^{2}\) ir savstarpēji pirmskaitļi.
\(\left(\left(n^{3}-1\right) /(n-1),(n+1)^{2}\right)=\left(n^{2}+n+1, n^{2}+2 n+1\right)=\)
\(\left(n^{2}+n+1,\left(n^{2}+2 n+1\right)-\left(n^{2}+n+1\right)\right)=\left(n^{2}+n+1, n\right)=\)
\(\left(n^{2}+n+1-(n+1) n, n\right)=(1, n)=1\).
Dots, ka \(2a+3b\) dalās ar \(5\) un \(2a+9b\) dalās ar \(5\). Pierādiet, ka abi skaitļi \(a\) un \(b\) dalās ar \(5\).
\(6b = (2a+9b)-(2a+3b)\) dalās ar \(5\). Tā kā \((6,5)=1\), tad arī \(b\) dalās ar \(5\); \(2a=(2a+3b)-3b\) dalās ar \(5\), un arī \(a\) dalās ar \(5\).
Cik daudz ir trīsciparu skaitļu, kas dalās ar \(13\)?
Trīsciparu skaiţ̦i atrodas intervālā \([100; 999]\). Intervālā \([1; 999]\) atrodas \([999 / 13] = 76\) skaitļi, kas dalās ar \(13\). Intervālā \([1; 99]\) atrodas \([99 / 13] = 7\) skaitļi, kas dalās ar \(13\). Tātad trīsciparu skaitḷu, kas dalās ar \(13\), pavisam ir \(76-7=69\).
Cik daudz ir četrciparu skaițlu, kas dalās ar \(7\)?
Četrciparu skaiţu, kas dalās ar \(7\), pavisam ir \(\lfloor 9999 / 7 \rfloor - \lfloor 999 / 7 \rfloor = 1286\).
Pierādiet, ka skaitļi \(n^{3} + 2n\) un \(n^{2}+1\) ir savstarpēji pirmskaitļi visām \(n\) vērtībām.
(A)
$\(\begin{aligned}
33 & = 18 \times 1+15\\
18 & = 15 \times 1+3 \\
15 & = 3 \times 5 \\
\end{aligned}
Tātad, \)\gcd(33,18)=3\(. Eiklīda algoritmu (kas no lielākā skaitļa arvien
patur atlikumu, kas rodas, dalot ar mazāko skaitli) var pierakstīt arī tā:
\[\gcd(33,18) = \gcd(18,15) = \gcd(15,3) = 3.\] \[\gcd(1260, 406) = \gcd(406, 42) = \gcd(42, 28) = \gcd(28,14) = 14.\] \[\gcd(56, 39) = \gcd(39, 17) = \gcd(17, 5) = \gcd(5,2) = \gcd(2,1) = 1.\] \[\gcd(312, 138) = \gcd(128, 36) = \gcd(36,30) = \gcd(30, 6) = 6.\]
\(\left(n^{3}+2 n, n^{2}+1\right) = \left( n^{3}+2n-n \left(n^{2}+1 \right), n^{2}+1 \right) = \left(n, n^{2}+1\right)=\)
\(\left(n, n^{2}+1-n \cdot n\right)=(n, 1)=1\).
Dalāmais ir vienāds ar \(371\), bet nepilnais dalījums ir \(14\). Nosakiet iespējamās dalītāja vērtības un atbilstošos atlikumus.
\(371 = x \times 14+r\), \(0 \leq r<x\). \(14 x<371\), tātad \(x \leq[371 / 14]=26\). \(371=14 x+r<14 x+x=15 x\), tātad \(x>371 / 15>24\).
Atbilde: Dalījums \(x=25\), atlikums \(r=21\); dalījums \(x=26\), atlikums \(r=7\).
Dalot skaitli \(100\) ar \(b\), atlikumā ieguvām \(6\). Kādas vērtības var pien̦emt skaitlis \(b\)?
\(100 = bq+6\), \(b>6\). \(bq=94=2 \times 47\). \(b\) ir skaitlạa 94 dalītājs, kas lielāks par \(6\). Tātad \(b=47\) vai \(b=94\).
Dots, ka \((a,c)=1\) un \((b,c)=1\). Pierādiet, ka \((ab, c)=1\).
Pien̦msim pretējo, ka \((ab,c)=d \neq 1\). Ar \(p\) apzīmēsim kādu no skaitļa \(d\) pirmreizinātājiem, t.i. \(p \mid c\) un \(p \mid a b\). No pirmskaitḷu 2.īpašības seko, ka \(p \mid a\) vai \(p \mid b\). Pirmajā gadījumā \(p \mid a\) un \(p \mid c\), bet tas ir pretrunā ar vienādību \((a, c)=1\). Otrajā gadījumā \(p \mid b\) un \(p \mid c\), bet tas ar pretrunā ar vienādību \((b, c)=1\). Iegūtā pretruna parāda, ka pien̦ēmums ir aplams. Tas nozīmē, ka \((ab, c)=1\) vai \(7\). Tā kā \(n\) ir nepāra skaitlis, tad šis atlikums var būt tikai \(7\).
Dots, ka \((a,b)=1\). Kādas vērtības var pieņemt skaitlis \(\left(a+b, a^{2}+b^{2}\right)\)?
Pien̦emsim, ka \(p\) ir kopīgs skaitlu \(a+b\) un \(a^{2}+b^{2}\) nepāra pirmreizinātājs. Tad \(p \mid(a+b)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right)=2ab\) un \(p \mid a\) vai \(p \mid b\). Bet tā kā \(p \mid(a+b)\), tad \(p \mid a\) un \(p \mid b\), bet tas ir pretrunā ar uzdevuma nosacījumiem, ka \((a, b)=1\). Abi skaitlii \(a\) un \(b\) nedrīkst vienlaicīgi būt pāra skaitļi. Atliek divas iespējas:
Pierādiet, ka četru pēc kārtas n̦emtu naturālu skaitļu reizinājums dalās ar \(24\).
Pierāda, ka četru pēc kārtas n̦emtu naturālu skaitlu reizinājums dalās ar \(3\) un ar \(8\).
Dots, ka \(5\,\mid\,(4a+7b)\) un \(5\,\mid\,(3a+8b)\). Pierādiet, ka \(250\,\mid\,ab(a+b)\).
\(5 \mid 3(4a+7b) - 4(3a+8b) = -11b\), tātad \(5 \mid b\); līdzīgi pierāda, ka \(5 \mid a\). No tā seko, ka \(5 \mid (a+b)\). Ja viens no skaițiem \(a,b\) ir pāra skaitlis, tad \(2 \mid ab\). Ja abi ir nepāra skaitļi, tad \(2 \mid (a+b)\). Visos gadījumos \(2 \mid ab(a+b)\). Tātad \(2 \times 5 \times 5 \times 5=250 \mid ab(a+b)\).
(A) \((30,18)=6\), \([30,18]=\frac{30 \cdot 18}{6}=90\).
(B) \((55,25)=5\), \([55,25]=\frac{55 \cdot 25}{5}=275\).
(C) \((143,91)=13,[143,91]=\frac{143 \cdot 91}{13}=1001\).
(D) \((200,150)=50,[200,150]=\frac{200 \cdot 150}{50}=600\).
Saīsināt daļas:
(A) \(39/24\),
(B) \(60/16\),
(C) \(612/522\),
(D) \(3053/4343\).
Atbilde: (A) \(13/8\); (B) \(15/4\); (C) \(34/29\); (D) \(71/101\).
Ar Eiklīda algoritmu aprēķināt \(d=(a,b)\), un izteikt skaitli \(d\) formā \(ua + vb\).
(A) \((15,9)\),
(B) \((187,68)\),
(C) \((200,325)\),
(D) \((200,40)\).
(A)
\[\begin{aligned} 15 & = 9 \times 1+6 \\ 9 & = 6 \times 1+3 \\ 6 & = 3 \times 2 \\ (15,9) & = 3.\\ \end{aligned}\]
Pārrakstām šādā formā:\[\begin{aligned} a_{1} & = a_{2} \times 1+a_{3} \\ a_{2} & = a_{3} \times 1+a_{4} \\ a_{3} & = a_{4} \times 2 \\ \end{aligned}\]
\(\left(a_{1}, a_{2}\right) = a_{4} = a_{2}-a_{3} = a_{2}-\left(a_{1}-a_{2}\right) = -a_{1}+2 a_{2}\). Tātad \((15,9)=3=(-1) \times 15+2 \times 9\); **(B)** \((187,68)=17=(-1) \times 187+3 \times 68\); **(C)** \((200,325)=25=5 \times 200-3 \times 325\); **(D)** \((200,40)=40=0 \times 200+1 \times 40\). # <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.6 Dots, ka \(a-b\) dalās ar \(5\), un \(a+b\) dalās ar \(5\). Pierādiet, ka abi skaitļi \(a\) un \(b\) dalās ar \(5\).\(2a = (a-b)+(a+b)\) dalās ar \(5\). Tā kā \((2,5)=1\), tad \(a\) dalās ar \(5\). Līdzīgi pierāda, ka \(b\) dalās ar \(5\).
Dalot skaitli \(a\) ar \(13\), iegūstam nepilno dalījumu \(17\). Noteikt skaiț̣a \(a\) lielāko iespējamo vērtību.
\(a=13 \times 17+\mathrm{r}\), \(0 \leq r<13\). Tātad lielākā iespējamā \(a\) vērtība ir \(a = 13 \times 17 + 12=233\).
Dalot skaitli \(x\) ar \(7\), iegūstam nepilno dalījumu \(11\). Kādas vērtības var pien̦emt skaitlis \(x\)?
\(x=7 \times 11+\mathrm{r}\), \(0 \leq r<7\). Tātad \(x\) var pien̦emt vērtības \(77, 78, 79, 80, 81, 82, 83\).
Skaitli \(a\) dalot ar \(12\), atlikumā iegūstam \(7\). Kādu atlikumu iegūsim, skaitli \(a\) dalot ar \(6\)?
\(a = 12q+7 = 6(2q+1) + 1\). Skaitli \(a\) dalot ar \(6\), atlikumā iegūsim \(1\).
Skaitli \(a\) dalot ar \(18\), atlikumā iegūstam \(12\). Kādu atlikumu iegūsim, skaitli \(a\) dalot ar \(3\)?