Atrisinājums

Pien̦emsim, ka pirmskaitļu, kam izpildās dotā īpašība ir galīgs skaits, un apzīmēsim tos ar \(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}\). Ņemsim \(x=p_{1} p_{2} \cdots p_{n}\) un skaitļa

\[x^{2}+x+1=\left(p_{1} p_{2} \cdots p_{n}\right)^{2}+p_{1} p_{2} \cdots p_{n}+1\]

pirmreizinātāju \(p\). Skaidrs, ka \(p \neq p_{i}\), jo pretējā gadījumā

\[p_{i} \mid\left(x^{2}+x+1\right)-x^{2}-x=1\]

Turklāt izpildās vienādība \(x^{2}+x+1=p y\), kas norāda, ka arī pirmskaitlim \(p\) izpildās prasītā īpašība.

Tātad šādu pirmskaitļu skaits nav ierobežots.