Ar \(p_{n}\) apzīmēsim \(n\)-to pēc kārtas pirmskaitli. Pierādiet, ka visiem naturāliem \(n\) izpildās nevienādība \(p_{n}<2^{2^{n}}\).
Apgalvojumu pierādīsim ar indukciju.
Ja \(n=1\), tad \(p_{1}=2<2^{2^{1}}\).
Pien̦emsim, ka apgalvojums izpildās, ja \(n \leq s\), un pierādīsim, ka tas izpildās, ja \(n=s+1\). Aplūkosim skaitļa \(a=p_{1} p_{2} \cdots p_{s}+1\) pirmreizinātāju \(p\). Skaidrs, ka \(p \neq p_{i}\). Tātad \(p \quad p_{s+1}\). No šejienes
\[\begin{aligned} & p_{s+1} \leq p \leq a \leq 2^{2^{1}} \cdot 2^{2^{2}} \cdot \ldots \cdot 2^{2^{s}}+1= \\ & 2^{2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{s}}+1=2^{2^{s+1}-2}+1<2^{2^{s+1}} \end{aligned}\]
Apgalvojums pierādīts.