Ar \(n?\) apzīmēsim visu pirmskaitḷu reizinājumu, kuri nepārsniedz \(n\). Pierādiet, ka visiem \(n \geq 4\) izpildās nevienādība \((n-1)? > n\).
Pien̦emsim, ka \((n-1)? = p_{1}p_{2} \cdots p_{n} \leq n\), un tātad \(p_{1} p_{2} \cdots p_{n}-1<n\). Aplūkosim skaitļa \(p_{1} p_{2} \cdots p_{n}-1\) pirmreizinātāju \(p\). Tas nesakrīt ne ar vienu no skaitļiem \(p_{i}\), jo \(p_{1} p_{2} \cdots p_{n}-1\) nedalās ar \(p_{i}\).
Taču skaitlis \(p\) ir mazāks par \(n\), un tam būtu jāsakrīt ar kādu no \(p_{i}\). Iegūta pretruna, kas pierāda, ka prasītā nevienādība vienmēr izpildās.