Kādiem naturāliem \(n\) skaitlis \((n-1)!\) nedalās ar \(n\)?
Ja \(n\) ir pirmskaitlis, tad \((n-1)!\) acīmredzami nedalās ar \(n\).
Ja skaitli \(n\) var uzrakstīt formā \(n=ab\), \(1<a<b\), tad \((n-1)!=1 \cdot \ldots \cdot a \cdot \ldots \cdot b \cdot \ldots \cdot(n-1)\) dalās ar \(n=ab\).
Jebkuru saliktu skaitli, kurš nav pirmskaiț̣a kvadrāts, šādā veidā var uzrakstīt (pamatojiet to!).
Atliek aplūkot gadījumu, kad \(n=p^{2}. Ja \)n=2^{2}\(, tad \)(n-1) !=6\( nedalās ar \)4\(. Ja \)n=p^{2}\(, \)p>2\(, tad \)(n-1)!=1 \cdot \ldots \cdot p \cdot \ldots \cdot 2 p \cdot \ldots \cdot(n-1)\( dalās ar \)p^{2}\(, jo reizinātājs \)2p\( tiešām parādās skaiț̣a \)(n-1)!\( sadalījumā reizinātājos. Tas seko no nevienādības \)n-1 = p^{2}-1 > 2p\(. *Atbilde:* \)n\( ir pirmskaitlis vai \)n=4$.