Atrisinājums

Tā kā \(q-p=2k\), tad \(p+q=2 \cdot(p+k)\). Ievērosim, ka

\[p< p+k < p+2k = q.\]

Skaitlis \(p+k\) nav pirmskaitlis, jo atrodas starp diviem viens otram sekojošiem pirmskaitļiem; tātad to var sadalīt divu naturālu skaitļu reizinājumā. ## Skaiţ̦a n! Dalītāji Pirmo \(n\) naturālo skaitlu reizinājumu apzīmē ar \(n!\). Skaidrs, ka visi naturālie skaitļi (tai skaitā arī pirmskaitļi), kas nepārsniedz \(n\) ir skaitļa \(n!\) dalītāji. Šis vienkāršais apgalvojums tiks izmantots sekojošo uzdevumu risināšanai. Vispirms aplūkosim, kā šo ideju bija izmantojis Eiklīds, lai pierādītu, ka pirmskaitļu skaits ir bezgalīgs. Pien̦emsim pretējo, ka pirmskaitļu skaits ir galīgs. Tādā gadījumā aplūkosim visus pirmskaitļus \(p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{n}\). Ņemsim skaitli \(N=p_{1} p_{2} \cdots p_{n}+1\). Skaitlis \(N\) dalās ar kādu pirmskaitli \(p\). Skaidrs, ka \(p \neq p_{i}\), jo pretējā gadījumā iegūstam, ka \(p \mid\left(p_{1} p_{2} \cdots p_{n}+1\right)\), tātad

\[p \mid\left(\left(p_{1} p_{2} \cdots p_{n}+1\right)-\left(p_{1} p_{2} \cdots p_{n}\right)\right)=1,\]

kas nav iespējams. Šī pretruna pierāda, ka pirmskaitļu skaits ir bezgalīgs. Šis rezultāts ir pirmais jautājumā par to, cik daudz ir pirmskaitļu - precīzāk: cik bieži naturālo skaiţ̦u virknē ir sastopami pirmskaitļi? Šis jautājums faktiski ir pamatā veselam skaitļu teorijas virzienam, ko sauc par pirmskaitļu sadalījuma teoriju. Lai novērtētu pirmskaitļu daudzumu, tiek aplūkota funkcija \(\Pi(x)\), kuru definē šādi: \(\Pi(x)\) ir pirmskaitļu skaits, kuri nepārsniedz \(x\). Apgalvojumu, ka pirmskaitļu skaits ir bezgalīgs var pierakstīt šādi:

\[\lim _{x \rightarrow \infty} \prod_{0}(x)=\infty .\]

Taču, kā zināms, funkcijas, kuras bezgalībā tiecas un bezgalību, var augt ātrāk vai lēnāk. Precīzs funkcijas \(\Pi(x)\) augšanas ātruma novērtējums redzams teorēmā par pirmskaitļu sadalījumu. Šo hipotēzi 16 gadu vecumā izteica Gauss, un 1896. gadā neatkarīgi pierādīja Adamārs un Valle-Pusens. **Teorēma (par pirmskaitļu izvietojumu):** Ir spēkā sekojoša robeža:

\[\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\prod(x) \cdot \frac{\ln x}{x}\right)=1.\]

Teorēma būtībā nozīmē, ka starp pirmajiem \(n\) naturālajiem skaițiem ir apmēram \(\frac{n}{\ln n}\) pirmskaitļu. Tomēr uzdevumi par pirmskaitļu sadalījumu ir ļoti sarežğîti, un daudzi no tiem arī pašreiz nav atrisināti. Neatrisināti, piemēram, ir šādi uzdevumi. - Vai eksistē bezgalīgi daudz pirmskaitļu, kas uzrakstāmi formā \(n^{2}+1\) ? - Vai eksistē bezgalīgi daudz pirmskaitļu, kas uzrakstāmi formā \(2^{n}+1\) ? (Fermā pirmskaitlii). - Vai eksistē bezgalīgi daudz pirmskaitļu, kas uzrakstāmi formā \(2^{n}-1\) ? (Mersena pirmskaitļi). - Vai eksistē bezgalīgi daudz tādu pirmskaitļu \(p\), kuriem skaitlis \(p+2\) arī ir pirmskaitlis? (Dvīņu problēma).

Tagad paskatīsimies, kā Eiklīda ideja tiek izmantota uzdevumu risināšanā.