Atrodiet visus reālu skaitļu trijniekus \((a, b, c)\), kuriem visi skaitļi \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\), \(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}, \frac{c}{a}+\frac{a}{b}\) ir veseli.
Atbilde: \(\left( \pm t, \pm t, \pm t \right)\), \(t \in R\), \(t \neq 0\).
\[2 \cdot \frac{a}{b} = \left( \frac{a}{b}+\frac{b}{c} \right) + \left( \frac{c}{a}+\frac{a}{b} \right) - \left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\]
ir vesels skaitlis. Līdzīgi pierāda, ka \(2 \cdot \frac{b}{c}\) un \(2 \cdot \frac{c}{a}\) ir veseli skaitļi. Ja \(2 \cdot \frac{a}{b}\) ir pāra skaitlis (t.i. \(\frac{a}{b}\) -- vesels skaitlis), tad no vienādības \(\frac{b}{c}=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\right)-\frac{a}{b}\) seko, ka \(\frac{b}{c}\) ir vesels skaitlis; līdz̄̄gi arī \(\frac{c}{a}\) ir vesels skaitlis. Tā kā \(\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}=1\), tad \(\left| \frac{a}{b} \right| = \left| \frac{b}{c} \right| = \left| \frac{c}{a} \right| = 1\), un iegūstam atbildē norādīto atrisinājumu. Ja \(2 \cdot \frac{a}{b}\) ir nepāra skaitlis, tad arī \(2 \cdot \frac{b}{c}\) un \(2 \cdot \frac{c}{a}\) ir nepāra skaiţ̦i. Taču \(2 \cdot \frac{a}{b} \cdot 2 \cdot \frac{b}{c} \cdot 2 \cdot \frac{c}{a}=8\), bet nepāra skaitļu reizinājums nevar būt pāra skaitlis.