Skolotājs uzrakstīja uz tāfeles naturālu skaitli. Pirmais skolnieks pateica, ka šis skaitlis dalās ar \(2\), otrais -- ka šis skaitlis dalās ar \(3\), utt., trīsdesmitais -- ka šis skaitlis dalās ar \(31\). Izrādījās, ka \(28\) skolnieki ir pateikuši taisnību, bet divi, ka atbildēja viens pēc otra, ir kļūdījušies. Kuri no skolniekiem kḷūdījās?
Skaitļiem, ar kuriem dalāmību pārbaudīja skolnieki, kuri kļūdījās, izpildās šādas īpašības:
a. Katrs no šiem skaitliem ir pirmskaitļa pakāpe. Tiešām, ja tas tā nebūtu, tad šo skaitli \(x\) varētu uzrakstīt formā \(x=l m, \quad(l, m)=1, \quad l>1, m>1\). Taču skolotājas nosauktais skaitlis \(A\) dalās ar \(l\) un \(m\), jo \(l<x-1, \quad m<x-1\) , bet dalāmību ar šiem skaițiem pārbaudīja skolnieki, kas nekļūdījās. Tātad \(A\) dalās ar \(lm=x\), un skolnieks, kas pārbaudīja dalāmību ar \(x\), nav kļūdījies.
b. Katrs no šiem skaitliem ir lielāks par \(15\). Tiešām, ja \(x \leq 15\), tad \(2x \leq 30\), un tā kā \(2x \mid A\), tad arī \(x \mid A\).
Viens no nosauktajiem skaitliem ir pāra skaitlis. Tātad tas ir divnieka pakāpe. No nosacījuma \(15 < 2^{n} \leq 31\) seko, ka \(2^{n}=16\). Der tikai skaitļu pāris \(16,17\).
Atbilde: Kļūdījās piecpadsmitais un sešpadsmitais skolēni.