Atrisinājums

Dotajai \(m\) vērtībai mums ir jānosaka, cik atrisinājumu ir vienādojumam \(m+y^{2}=x^{2}\) veselos nenegatīvos skaitlos \(x,y\). Vienādojumu pārveidojam formā

\[m=(x+y)(x-y)\]

Skaitļu \(x+y\) un \(x-y\) paritāte ir vienāda. Tātad, ja \(m=4k+2\), tad vienādojumam nav atrisinājumu. Ja \(m\) ir nepāra skaitlis, tad katram skaitļa \(m\) sadalījumam reizinātājos \(m=d_{1}d_{2}\), \(d_{1} \leq d_{2}\) atbilst atrisinājums \(x, y\), ko iegūst, risinot sistēmu

\[\left\{\begin{array}{l} x-y = d_{1} \\ x+y = d_{2} \end{array}\right.\]

Apzīmējot ar \(d(m)\) skaiţ̣a \(m\) naturālo dalītāju skaitu, iegūsim, ka atrisinājumu skaits ir \(\frac{d(m)}{2}\), ja \(m\) nav pilns kvadrāts, un atrisinājumu skaits ir \(\frac{d(m)+1}{2}\), ja \(m\) ir pilns kvadrāts. Ja \(m\) dalās ar \(4\), tad \(x+y\) un \(x-y\) jābūt pāra skaitļiem. Katram vienādojuma atrisinājumam atbilst skaiț̣a \(m\) sadalījums reizinātājos \(m=2 q_{1} \cdot 2 q_{2}\), jeb \(\frac{m}{4}=q_{1}q_{2}\). Tātad, atrisinājumu skaits ir \(\frac{d\left(\frac{m}{4}\right)}{2}\), ja \(m\) nav pilns kvadrāts, un atrisinājumu skaits ir \(\frac{d\left(\frac{m}{4}\right)+1}{2}\), ja \(m\) ir pilns kvadrāts.