Atrodiet trīsciparu skaitli, kuru kāpinot jebkurā naturālā pakāpē, iegūstam skaitli, kura pēdējie trīs cipari veido sākotnējo skaitli.
Apzīmēsim meklējamo skaitli ar \(N\). Tad \(1000 \mid \left(N^{2}-N\right)\) un \(8 \cdot 125 \mid (N-1) \cdot N\).
Tā kā \(N\) un \(N-1\) ir savstarpēji pirmskaiţ̦i, un neviens no tiem nevar dalīties ar \(8 \cdot 125\), tad pastāv divas iespējas:
a. \(8 \mid N\) un \(125 \mid(N-1)\), jeb \(N=376\); b. \(125 \mid N\) un \(8 \mid(N-1)\), jeb \(N=625\).
Tā kā jebkuram naturālam \(k \quad N^{k}-N=N\left(N^{k-1}-1\right)\) dalās ar \(N(N-1)\), tad abas iegūtās \(N\) vērtības apmierina uzdevuma nosacījumus.
Atrodiet visas tādas naturālu skaitļu virknes \((a_n)\), kurām izpildās sekojošas īpašības:
a. visiem naturāliem \(n\), \(a_n \leq n\sqrt{n}\),
b. visiem naturāliem \(m\) un \(n\) starpība \(a_m - a_n\) dalās ar \(m-n\).
No dotā seko, ka \(a_{1}=1, a_{2}=1\) vai \(2\). Aplūkosim abus gadījumus:
a. \(a_{1}=1, a_{2}=1\); tad \((n-1) \mid \left(a_{n}-1\right)\) un \((n-2) \mid\left(a_{n}-1\right)\). Tas nozīmē, ka \(a_{n}=1\) vai \(a_{n}>(n-1)(n-2)\). No nevienādības \(a_{n} \leq n \sqrt{n}\) seko, ka eksistē kāda vieta \(n_0\) šajā virknē, ka visiem \(n \geq n_{0}\) ir spēkā \(a_{n}=1\). Pierādīsim, ka \(a_{k}=1\) visiem naturāliem \(k\). N̦emsim \(n \geq n_{0}\). Tad \(a_{k}-1=a_{k}-a_{n}\) un tātad \((a_k - 1) \vdots (k-n)\).
Tā kā \(n\) ir patvaļīgi liels skaitlis, tad \(a_{k}-1=0\), tātad \(a_{k}=1\).
b. Otrajā gadījumā analoǵiski pierāda, ka \(a_{n}=n\) visiem naturāliem \(n\).