Atrisinājums

Uzdevuma nosacījumu pierakstīsim šādi:

\[1+2+\cdots+n=\overline{k k k} ; \quad \frac{n(n+1)}{2}=k \cdot 3 \cdot 37, \quad 0<k \leq 9\]

Viens no skaitļiem \(n\) vai \(n+1\) dalās ar 37, bet tā kā \(\frac{73 \cdot 74}{2}>999\), tad \(n=37\) vai \(n+1=37\). Ja \(n=37\), tad \(n+1=38\), un šo skaiţ̦u reizinājums nedalās ar \(3\). Atliek vērtība \(n=36\). Šajā gadījumā iegūstam prasīto vienādību

\[1+2+\cdots+36=666.\]