Pierādīt, ka sešciparu skaitlis dalās ar \(13\) tādā un tikai tādā gadījumā, ja ar \(13\) dalās tā pirmo trīs ciparu un pēdējo trīs ciparu veidoto skaitļu starpība (mazinātājs varētu sākties ar vienu vai vairākām nullēm).
Apgalvojums seko no vienādības
\[\overline{abcdef} = 1000 \cdot \overline{abc} + \overline{def} =\]
\[= 1001 \cdot \overline{abc} + (\overline{def} - \overline{abc}) = 13 \cdot 77 \overline{abc} + (\overline{def} - \overline{abc}).\]
No šejienes redzams, ka \(\overline{abcdef}\) dalās ar \(13\) tad un tikai tad, kad \((\overline{def} - \overline{abc})\) dalās ar \(13\). # Dalāmības īpašības Dalāmības īpašības sk. [Jēdziens: dalītājs](Concept-p1.1-divisor.md), šeit papildus izmantojam sekojošus apgalvojumus: * Ja \(p\) ir pirmskaitlis un \(p \mid ab\), tad \(p \mid a\) vai \(p \mid b\). * Ja \(a_1 \mid m\), \(a_2 \mid m\), \(\ldots\), \(a_n \mid m\), tad \(\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\ldots,a_n)\,\mid\,m\). * Ja \(a\) un \(b\) ir savstarpēji pirmskaitļi un \(a \mid bc\), tad \(a \mid c\). Pirmās un trešās īpašības pierādījumi nebūt nav vienkārši. To pamatā ir teorēma par Eiklīda algoritmu un šīs īpašība tiks pierādītas otrajā nodaļā. Otrā īpašība seko no MKD definīcijas. Taču, rēķinot uzdevumus par skaitļu dalāmību, mums pašreiz nav vajadzības zināt aritmētikas pamatteorēmas pierādījumu, un tāpēc pagaidām izmantosim šīs īpašības uzdevumu risināšanā, atceroties, ka to pierādījumi tiks aplūkoti vēlāk, kad tiks pierādīta aritmētikas pamatteorēma. Risinot uzdevumus, jāizmanto arī skaitļa sadalījums pirmreizinātājos un jāmāk uzrakstīt visi skaitļa dalītāji. Arī šajā gadījumā mēs faktiski lietojam aritmētikas pamatteorēmu, kas pagaidām nav pierādīta. ## Jautājumi paškontrolei Pamatojiet norādītās atbildes. 1. Dots, ka naturāls skaitlis dalās ar \(3\) un \(4\). Vai šis skaitlis noteikti dalās ar \(12\)? Atbilde: jā. 2. Dots, ka naturāls skaitlis dalās ar \(6\) un \(4\). Vai šis skaitlis noteikti dalās ar 24? Atbilde: nē. 3. Kur ir būtiskā atšķirība starp pirmo un otro jautājumu? Atbilde: \(3\) un \(4\) ir savstarpēji pirmskaitļi, bet \(6\) un \(4\) – nē. 4. Skaitlis \(A\) nedalās ar \(3\). Vai skaitlis \(2A\) var dalīties ar \(3\)? Atbilde: nē. 5. Dots, ka \(A\) ir pāra skaitlis. Vai skaitlis \(3A\) noteikti dalās ar \(6\)? Atbilde: jā. 6. Skaitlis \(5A\) dalās ar \(3\). Vai skaitlis \(A\) noteikti dalās ar \(3\)? Atbilde: jā. 7. Skaitlis \(15A\) dalās ar \(6\). Vai skaitlis \(A\) noteikti dalās ar \(6\)? Atbilde: nē. # Dalāmības īpašības: Ievaduzdevumi # <lo-exercise/> BBK2012.P1.E2.1 Dots, ka \(5 \mid a\) un \(5 \mid b\). Pierādiet, ka \(5 \mid (a^2 + 7b)\).\(5 \mid a\), tātad \(5 \mid a^2\) (īpašība D2); \(5 \mid b\), tātad \(5 \mid 7b\) (īpašība D2). No īpašības D1 seko, ka \(5 \mid (a^2 + 7b)\).
Dots, ka \(7 \mid a\). Pierādiet, ka \(7 \mid (a^2 + 3a + 7b - 21)\).
Tā kā \(\sqrt{120} < 11\), tad pietiek pārbaudīt dalāmību ar pirmskaitļiem, kas ir mazāki par \(11\). Tie ir 2, 3, 5 un 7. Vienīgais pāra pirmskaitlis ir \(2 \not\in [100, 120]\); tāpēc pāra skaitļi nav jāaplūko. Izrakstīsim visus nepāra skaitļus no \([100;120]\) un pasvītrosim tos, kas dalās ar \(2\), \(3\), \(5\) vai \(7\):
\[101, 103, \underline{105}, 107, 109, \underline{111}, 113, \underline{115}, \underline{117}, \underline{119}.\]
Nepasvītrotie skaitļi \(101\), \(103\), \(107\), \(109\), \(113\) ir pirmskaitļi. # <lo-exercise/> BBK2012.P1.E2.11 Atrodiet visus pirmskaitļus intervālā \([180, 200]\)s.Dotajā intervālā pirmskaitļi ir skaitļi \(181\), \(191\), \(193\), \(197\) un \(199\). Citi neder, jo \(3 \mid 183\), \(5 \mid 185\), \(11 \mid 187\), \(3 \mid 189\), \(5 \mid 195\) (vai arī ir pāra skaitļi).
Ar kādām naturālām \(n\) vērtībām skaitlis \(n^2 - 1\) ir pirmskaitlis?
Zināms, ka \(n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)\). Tātad, ja \(n - 1 > 1\), tad \(n^2-1\) nav pirmskaitlis, jo \(n-1\) ir tā dalītājs, pie kam \(n -1 \neq 1\) un \(n-1 \neq n^2 -1\). Atliek pārbaudīt \(n\) vērtības \(n=1\) un \(n=2\). Ja \(n =1\), tad \(n^2 - 1 = 0\) nav pirmskaitlis. Ja \(n = 2\), tad \(n^2 - 1 = 3\) ir pirmskaitlis.
Dots, ka \(5 \mid 12a\). Pierādiet, ka \(5 \mid a\).
No pirmskaitļu 2.īpašības seko, ka \(5 \mid 12\) vai \(5 \mid a\). Tā kā \(\operatorname{gcd}(5, 12) = 1\), tad \(5 \mid a\).
Dots, ka \(7 \mid a\) un \(7 \mid (2a + 3b)\). Pierādiet, ka \(7 \mid b\).
No īpašības D3 seko, ka \(7 \mid (2a + 3b) - 2a = 3b\). No pirmskaitļu 2 īpašības seko, ka \(7 \mid b\).
Dots, ka \(5 \mid 7b\) un \(7 \mid 5a\). Pierādiet, ka \(35 \mid ab\).
No pirmskaitļu 2.īpašības seko, ka \(5 \mid b\) un \(7 \mid a\). Tātad \(35 \mid ab\) (īpašība D5).
Dots, ka \(n \mid (5a + 3b)\) un \(n \mid (3a + 2b)\). Pierādiet, ka \(n \mid a\) un \(n \mid b\).
Pareizinot \(5a + 3b\) ar \(2\) un \(3a + 2b\) ar \(3\) un atņemot otro izteiksmi no pirmās, iegūsim: \(2 (5a + 3b) - 3 (3a + 2b) = a\). Tā kā \(n \mid (5a + 3b)\) un \(n \mid (3a + 2b)\), tad \(n \mid a\) (īpašība D3). Izmantojot vienādību \(b = 5 (3a + 2b) - 3 (5a + 3b)\), pierāda, ka \(n \mid b\).
Dots, ka \(n \mid (3a + 7b)\) un \(n \mid (2a + 5b)\). Pierādiet, ka \(n \mid a\) un \(n \mid b\).
Seko no tā, ka \(a = 5 (3a + 7b) - 7 (2a + 5b)\) un \(b = 3 (2a + 5b) - 2 (3a + 7b)\).
Dots, ka \(5 \mid (3a + 4b)\) un \(5 \mid (2a + 3b)\). Pierādiet, ka \(25 \mid ab\).
\(5 \mid a\), jo \(a = 3 (3a + 4b) - 4 (2a + 3b)\).
\(5 \mid b\), jo \(b = 3 (2a + 3b) - 2 (3a + 4b)\).
No īpašības D5 seko, ka \(25 \mid ab\).
Pierādiet, ka visiem naturāliem \(n\) skaitlis \(n^2 + n + 6\) dalās ar \(2\).
Viens no skaitļiem \(n\) vai \(n + 1\) ir pāra skaitlis, tāpēc \(n^2+ n = n(n + 1)\) dalās ar \(2\). Tātad \(2 \mid (n^2+ n + 6)\).
Dots, ka \(n \mid (a - b)\). Pierādiet, ka \(n \mid (a^3 + a^2 - b^3 - b^2)\).
\(7 \mid a\), tātad \(7 \mid a^2\) un \(7 \mid 3a\) (īpašība D2); \(7 \mid 7b\) un \(7 \mid 21\). No īpašības D3 seko, ka \(7 \mid (a^2 + 3a + 7b - 21)\).
Dots, ka \(n \mid a\) un \(n \mid (5a + b)\). Pierādiet, ka \(n \mid b\).
Seko no tā, ka \(a^3 + a^2 - b^3 - b^2 = (a^3 - b^3) + (a^2 - b^2)\),
\((a^3 - b^3) + (a^2 - b^2) = (a - b)(a^2 + ab + b2) + (a - b)(a + b)\).
Abi saskaitāmie dalās ar \(a-b\), tātad arī ar \(n\).
Dots, ka \(n \mid (a + 2b)\). Pierādiet, ka \(n \mid (a^3 + 2a + 8b^3 + 4b)\).
Seko no tā, ka \(a^3 + 2a + 8b^3 + 4b = (a^3 + 8b^3) + 2(a + 2b)\),
\((a^3 + 8b^3) + 2(a + 2b) = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) + 2(a + 2b)\).
Abi saskaitāmie dalās ar \(a+2b\), tātad arī ar \(n\).
Dots, ka daļa \(a/b\) ir saīsināma. Vai daļa \((a - b)/(a + b)\) ir saīsināma? Un otrādi, ja zināms, ka daļa \((a - b)/(a + b)\) ir saīsināma, vai daļa \(a/b\) noteikti ir saīsināma?
Jā, ir saīsināma. Ja \(n \mid a\) un \(n \mid b\), tad \(n \mid (a - b)\) un \(n \mid (a + b)\). Apgrieztais apgalvojums neizpildās, jo, ņemot, piemēram, \(a = 5\) un \(b = 3\) redzam, ka daļa \(5/3\) nav saīsināma, bet daļa \((5 - 3)/(5 + 3)\) ir saīsināma.
Dots, ka \(11 \mid (3x + 7y)\) un \(11 \mid (2x + 5y)\). Pierādiet, ka \(121 \mid (x^2 + y^2)\).
\(11 \mid x\), jo \(x = 5 (3x + 7y) - 7 (2x + 5y)\) un
\(11 \mid y\), jo \(y = 3 (2x + 5y) - 2 (3x + 7y)\).
Tātad \(11^2 \mid x^2\), \(11^2 \mid y^2\), un \(121 \mid x^2 + 3y^2\).
Doti tādi naturāli skaitļi \(a,b\), ka \(a \mid (a + b)\) un \(b \mid (a + b)\). Pierādiet, ka \(a = b\).
No \(a \mid (a + b)\) seko, ka \(a \mid b\). Līdzīgi iegūstam, ka \(b \mid a\). No īpašības D6 seko, ka \(a = b\).
Dots, ka \(2 \mid (a - 1)\) un \(3 \mid (a + 1)\). Pierādiet, ka \(6 \mid (a^2 + 5)\).
No dalāmības īpašībām seko, ka \(6 \mid (a - 1)(a + 1) = a^2 - 1\). Tātad \(6 \mid (a^2 + 5)\), jo \(a^2 + 5 = (a^2 - 1) + 6\).
Dots, ka \(6 \mid (a - b)\) un \(6 \mid (a + b)\). Pierādiet, ka \(3 \mid (a^2 + 8b^2)\).
No tā, ka \(6 \mid (a - b)\) seko, ka \(6 \mid (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b)\). No īpašības D1 seko, ka \(6 \mid (a^2 - b^2 + 6b^2) = a^2 + 5b^2\). Tā kā \(3 \mid 6\), tad arī \(3 \mid (a^2 + 5b^2)\).
Ar kādām naturālām \(n\) vērtībām skaitlis \(n^3-1\) ir pirmskaitlis?
Zināms, ka \(n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1)\). Tātad, ja \(n-1 > 1\), tad \(n^3-1\) nav pirmskaitlis, jo \(n-1\) ir tā dalītājs, pie kam \(n-1 >1\) un \(n-1 < n^3-1\). Atliek pārbaudīt \(n\) vērtības \(n = 1\) un \(n = 2\). Ja \(n=1\), tad \(n^3-1 = 0\) nav pirmskaitlis. Ja \(n = 2\), tad \(n^3 - 1 = 7\) ir pirmskaitlis.
Ar kādām naturālām \(n\) vērtībām skaitlis \(n^2+5n+6\) ir pirmskaitlis?
Skaitlis \(n^2 + 5n + 6 = (n + 2)(n + 3)\) nav pirmskaitlis nevienai n vērtībai, jo tas sadalās reizinātājos, kuri ir lielāki par \(1\).
Ar kādām naturālām \(a\) un \(b\) vērtībām skaitlis \(ab + a + b + 1\) ir pirmskaitlis?
Izteiksmi \(ab + a + b + 1\) sadalām reizinātājos \((a+1)(b+1)\). Tātad šis skaitlis nav pirmskaitlis nekādām \(a\) un \(b\) vērtībām, jo abi reizinātāji ir lielāki par \(1\).
Dots, ka \(4 \mid x\) un \(3 \mid y\). Pierādiet, ka \(12 \mid (xy + 8y + 9x)\).
\(b = (5a + b) - 5a\). Tā kā \(n \mid (5a + b)\) un \(n \mid 5a\) (jo \(n \mid a\)), tad \(n\) ir šo skaitļu starpības dalītājs, t.i., \(n \mid b\).
Dots, ka \(n \mid (a - b)\). Pierādiet, ka \(n \mid (a^2 + a - b^2 - b)\).
\(12 \mid xy\), jo \(4 \mid x\) un \(3 \mid y\) (īpašība D5); \(12 \mid 8y\), jo \(4 \mid 8\) un \(3 \mid y\); \(12 \mid 9x\), jo \(3 \mid 9\) un \(4 \mid x\). Tātad \(12\) dala arī šo skaitļu summu \(xy + 8y + 9x\).
Dots, ka \(11 \mid (4a + b)\) un \(11 \mid (a+4b)\). Pierādiet, ka \(11 \mid a\) un \(11 \mid b\).
No uzdevuma nosacījumiem seko, ka skaitlis \(4(a + 4b) - (4a +b) = 15b\) dalās ar \(11\). No pirmskaitļu 2. īpašības izriet, ka \(11 \mid b\). Līdzīgi pierāda, ka \(11 \mid a\).
Dots, ka \(7 \mid (3a + b)\) un \(7 \mid (a + 3b)\). Pierādiet, ka \(49 \mid ab\).
\(7 \mid (3(a + 3b) - (3a + b)) = 8b\). Tātad, \(7 \mid b\). Līdzīgi pierāda, ka \(7 \mid a\). No īpašības D5 seko, ka \(49 \mid ab\).
Dots, ka \(7 \mid (2a + 3b)\). Pierādiet, ka \(7 \mid (a + 5b)\).
No dotā seko, ka \(7 \mid 4(2a +3b) = 8a + 12b\). Tātad arī skaitlis \(a + 5b = 8a + 12b - 7(a + b)\) dalās ar \(7\).
Dots, ka \(13 \mid (a + 4b)\). Pierādiet, ka \(13 \mid (10a + b)\).
No dotā seko, ka \(13 \mid 10(a +4b) = 10a + 40b\). Tātad arī skaitlis \(10a + b = (10a + 40b) - 39b\) dalās ar \(13\).
Dots, ka \(11 \mid (3a + 7b)\). Pierādiet, ka \(11 \mid (4a + 2b)\).
No dotā seko, ka \(11 \mid 5(3a +7b) = 15a + 35b\). Tātad arī skaitlis \(4a + 2b = 15a + 35b - 11(a + 3b)\) dalās ar \(11\).
Pierādiet, ka skaitlis \(4a + 5b\) dalās ar \(17\) tad un tikai tad, kad skaitlis \(7a - 3b\) dalās ar \(17\).
Ja \(17 \mid (4a +5b)\), tad arī skaitlis \(6(4a +5b) = 24a + 30b\) dalās ar \(17\). Tas nozīmē, ka skaitlis \(7a - 4b = 24a + 30b - 17(a + 2b)\) dalās ar \(17\). Līdzīgi pierāda apgriezto apgalvojumu.
Ar kādām naturālām \(n\) un \(m\) vērtībām skaitlis \((n-m)(n^2+m-1)\) ir pirmskaitlis?
Nav tādu \(n\) un \(m\) vērtību. Vērtības \(n<m\) dod negatīvu rezultātu un neder. Ja \(n-m=0\), tad \(0\) nav pirmskaitlis. Ja \(n-m \geq 2\), tad izteiksme \((n-m)(n^2+m-1)\) dalās ar \(n-m\), pie tam \(n-m \neq 1\) un \(n-m \neq (n-m)(n^2+m-1)\).
Visbeidzot, ja \(n-m=1\), tad \(n^2 + m - 1\), tad \(n^2 + (n-1) - 1 = n^2 + n - 2 = n(n+1) - 2\). Tas vienmēr ir pāra skaitlis, jo vismaz viens no \(n\) vai \(n+1\) ir pāra. Vienīgais pāra pirmskaitlis ir \(2\), bet \(n(n+1) - 2 \neq 2\) nekādam \(n\), jo izteiksme \(n(n+1)-2\) ir augoša un pieņem vērtības \(0, 4, 10, 18, \ldots\) pie \(n=1,2,3,4,\ldots\). Šīs vērtības "pārlec pāri" vērtībai \(2\).
Atrodiet vismaz vienu naturālu skaitli \(n\), lai intervālā \([n, n + 10]\) nebūtu neviena pirmskaitļa.
Uzdevuma nosacījumus apmierina, piemēram, skaitlis \(n = 12! +2 = 479001602\). Tiešām, ja \(1 < k < 13\) , tad \(12! + k\) ir salikts skaitlis, jo \(k\) ir šā skaitļa dalītājs.
Ir arī daudz mazāki atrisinājumi, piemēram \(n=114\). Intervālā \([114;126]\) nav neviena pirmskaitļa.
Izteiksmi \(a^2 + a - b2 - b\) var sadalīt reizinātājos \((a - b)(a + b + 1)\). Tā kā \(n \mid (a - b)\), tad no īpašības D2 seko, ka \(n \mid (a^2 + a - b^2 - b)\).
Dots, ka \(n \mid 3a\) un \(n \mid (12a + 5b)\). Pierādiet, ka \(n \mid 10b\).
No īpašības D3 seko, ka \(n \mid 5b = (12a +5b) - 4 \cdot 3a\). Tātad \(n\) dala arī \(10b\) (īpašība D2).
Dots, ka \(5 \mid (a - b)\) un \(7 \mid (a + b)\). Pierādiet, ka \(35 \mid (a^2 - b^2)\).
No īpašības D5 seko, ka \(5 \cdot 7 = 35 \mid (a-b)(a+b) = a^2 - b^2\).
Doti tādi naturāli skaitļi \(a, b, c\), ka \(a \mid b\), \(b \mid c\), \(c \mid a\). Pierādiet, ka \(a = b = c\).
No tā, ka \(b \mid c\) un \(c \mid a\) seko, ka \(b \mid a\) (īpašība D4). Tā kā \(a \mid b\) un \(b \mid a\), tad \(a = b\) (īpašība D6). Līdzīgi pierāda, ka \(b = c\).
Dots, ka \(3 \mid (a - 1)\) un \(5 \mid (a+2)\). Pierādiet, ka \(15 \mid (a^2 + a - 2)\).
Apgalvojums seko no vienādības \(a^2 + a - 2 = (a -1)(a + 2)\) un īpašības D5.
Kuri no skaitļiem \(101, 111, 141, 143, 155, 161, 163\) ir pirmskaitļi?
Visi no dotajiem skaitļiem ir mazāki par \(13^2 = 169\). Tātad, lai noskaidrotu, vai dotie skaitļi ir pirmskaitļi, mums jāpārbauda to dalāmība ar pirmskaitļiem, kuri ir mazāki par 13. Tie ir \(2\), \(3\), \(5\), \(7\) un \(11\). Pārbaudot redzam, ka pirmskaitļi ir skaitļi \(101\), \(141\), \(163\).
Atrodiet visus pirmskaitļus intervālā \([100, 120]\).