Atrisinājums

Eksistē tikai viens šāds skaitlis \(k=1\).

Šajā gadījumā virkne \(k+1, k+2, \ldots, k+100\) satur \(26\) pirmskaitļus. Ja \(k \in\{2,3,4\}\), tad virknē ir \(25\) pirmskaitļi. Ja \(k \in\{5,6\}\), tad virknē \(24\) pirmskaitļi. Tālāk aplūkosim \(k \geq 7\). Tādā gadījumā jebkurš no skaițliem, kurš dalās ar \(2\), \(3\), \(5\) vai \(7\), ir salikts skaitlis. Pakāpeniski pierādām sekojošu apgalvojumus:

a. Tieši \(50\) skaitļi virknē dalās ar \(2\). b. Virknē ir ne mazāk kā \(16\) skaitli, kas dalās ar \(3\), bet nedalās ar \(2\). c. Virknē ir ne mazāk kā \(6\) skaitli, kas dalās ar \(5\), bet nedalās ar \(2\) vai \(3\). d. Virknē ir ne mazāk kā \(3\) skaiți, kas dalās ar \(7\), bet nedalās ar \(2\), \(3\) vai \(5\).

Tātad virknē ir ne vairāk kā \(100-50-16-6-3=25\) pirmskaitļi.