1.Daļa: SKAITĻU DALĀMĪBA
Dalītāji un dalāmība
Viens no galvenajiem skaitļu teorijas jēdzieniem ir skaitļu dalāmība.
Definīcija: Saka, ka vesels skaitlis \(m\) dalās ar veselu skaitli \(n\), jeb \(n\) ir \(m\) dalītājs, ja eksistē tāds vesels skaitlis \(k\), kuram \(m = n \cdot k\). To pieraksta šādi \(m \mathrel{\vdots} n\) jeb \(n \mid m\).
Dalāmības īpašības:
D1. Ja \(a \mid b\) un \(a \mid c\), tad \(a \mid b+c\) un \(a \mid b-c\);
D2. Ja \(a \mid b\), tad \(a \mid b \cdot k\);
D3. Ja \(a \mid b_1\), \(a\mid b_2\), \(\ldots\), \(a \mid b_n\),
tad \(a \mid \left(b_1k_1 + b_2k_2 + \cdots + b_nk_n \right)\);
D4. Ja \(a \mid b\) un \(b \mid c\), tad \(a \mid c\);
D5. Ja \(a \mid x\) un \(b \mid y\), tad \(ab \mid xy\);
D6. Ja \(a,b \in \mathbb{N}\), \(a \mid b\) un \(b \mid a\), tad \(a =b\).
Dalīšana ar atlikumu
Definīcija: Izdalīt veselu skaitli \(m\) ar naturālu skaitli \(n\) ar atlikumu nozīmē uzrakstīt skaitli formā \(m=nq+r\), turklāt \(q\) un \(r\) ir veseli skaitļi, un \(0 \leq r \leq n-1\).
Praktiski dalīšanu ar atlikumu izpilda kā parastu dalīšanu, tikai šo procesu pabeidz, tiklīdz atlikums kļūst mazāks par dalītāju.
Mēs parasti neuzdodam sev jautājumu, vai vienmēr var izdalīt ar atlikumu un vai atlikums nosakāms viennozīmīgi.
Teorēma: Jebkuram veselam skaitlim \(m\) un jebkuram naturālam skaitlim \(n\) eksistē tieši viens veselu skaitļu pāris \((q,r)\), kuram izpildās nosacījumi:
\[m = q \cdot n + r,\;\;0 \leq r < n.\]
Pierādījums.
Eksistence (Izdalīt ar atlikumu vienmēr var).
Ar \(q\) apzīmēsim lielāko veselo skaitli,
kurš nepārsniedz \(\frac{m}{n}\); tad \(q \leq \frac{m}{n} < q+1\) un \(qn \leq m < qn+n\).
Ar \(r\) apzīmēsim skaitli \(m-qn\); tātad \(m = q \cdot n + r\).
No nevienādībām \(qn \leq m < qn+n\) seko, ka \(0 \leq r < n\).
Unitāte (Izdalīt ar atlikumu var tikai vienā veidā).
Pieņemsim, ka to pašu skaitli \(m\) var izteikt divos dažādos veidos:
\[\left\{ \begin{array}{ll} m = q_1 \cdot n + r_1, & 0 \leq r_1 < n\\ m = q_1 \cdot n + r_1, & 0 \leq r_1 < n.\\ \end{array} \right.\]
Atņemot no pirmās vienādības otro, iegūstam:
\[0 = (q_1 - q_2) \cdot n + (r_1 - r_2)\;\;\text{jeb}\;\; (q_2 - q_1) \cdot n = (r_1 - r_2).\]
Tātad \(r_1 - r_2\) dalās ar \(n\). Tā kā \(|r_1 - r_2 | < n\), tad
\(r_1 - r_2 = 0\) un tādēļ arī \(r_1 = r_2\) un \(q_1 = q_2\).
Unitāte pierādīta.
LKD un MKD
Pievērsiet īpašu uzmanību LKD un MKD definīcijām. Tās atšķiras no
no skolas programmas. Šajās definīcijās neizmanto attiecības
"lielāks" un "mazāks", tikai dalāmības attiecību.
Šīs definīcijas var izmantot, lai ieviestu LKD un MKD jēdzienus arī
situācijās, kad objekti nav salīdzināmi.
(Piemēram, var tādā pašā veidā definēt arī LKD vai MKD diviem polinomiem kaut
arī polinomi nav salīdzināmi tāpat kā skaitļi.)
Definīcija: Veselu skaitli \(d\) sauc par veselu skaitļu \(a\) un \(b\) lielāko kopīgo dalītāju un apzīmē \(d = \operatorname{gcd}(a, b)\), ja izpildās sekojošas īpašības:
- \(d \mid a\) un \(d \mid b\);
- ja \(t\) ir tāds vesels skaitlis, ka \(t \mid a\) un \(t \mid b\), tad \(t \mid d\).
Definīcija: Veselu skaitli \(m\) sauc par veselu skaitļu \(a\) un \(b\) mazāko kopīgo dalāmo un apzīmē \(\operatorname{lcm}(a, b)\), ja tam izpildās sekojošas īpašības:
- \(a \mid m\) un \(b \mid m\);
- ja \(s\) ir tāds vesels skaitlis, ka \(a \mid s\) un \(b \mid s\), tad \(m \mid s\).
Izmantojot definīcijas, var pierādīt, ka skaitļu LKD un MKD ir noteikti viennozīmīgi, ja neņem vērā skaitļu zīmi. Taču LKD un MKD eksistence, ievērojot doto definīciju, ir pietiekami sarežģīts apgalvojums. Eksistences pierādījums ir saistīts ar Eiklīda algoritmu – metodi, kas aprēķina skaitļu (un ne tikai skaitļu, bet, piemēram, arī polinomu) lielāko kopīgo dalītāju.
LKD īpašības:
- \(\operatorname{gcd}(a,b) = \operatorname{gcd}(b,a)\),
- \(\operatorname{gcd}(a,b) = \operatorname{gcd}(a, b+ka)\),
- \(\operatorname{gcd}(a,b,c) = \operatorname{gcd}(\operatorname{gcd}(a,b),c)\),
- \(\operatorname{gcd}(ta,tb) = t \cdot \operatorname{gcd}(a,b)\),
- \(\operatorname{gcd}(a,b) \cdot \operatorname{lcm}(a,b) = a \cdot b\).
- Ja \(\operatorname{gcd}(x,y) = 1\), \(x \mid a\) un \(y \mid b\), tad \(xy \mid a\),
- Ja \(\operatorname{gcd}(a,x) = 1\) un \(x \mid ab\), tad \(x \mid b\).
Eiklīda algoritms
Doti naturāli skaitļi \(a_0\) un \(a_1\); pieņemsim, ka \(a_0 > a_1\).
Izdalīsim skaitli \(a_0\) ar \(a_1\) ar atlikumu:
\(a_0 = a_1q_1 + a_2\), \(0 \leq a_2 < a_1\).
Pēc tam izdalīsim \(a_1\) ar \(a_2\) ar atlikumu, atlikumu apzīmēsim ar \(a_3\).
Šo procesu turpināsim, kamēr atlikumā iegūsim \(0\).
Process beigsies, jo virkne \((a_n)\) ir stingri dilstoša nenegatīvu skaitļu virkne.
Rezultātā iegūsim šādu sistēmu:
\[\left\{ \begin{array}{ll} a_0 = a_1q_1 + a_2, & a_2 < a_1,\\ a_1 = a_2q_2 + a_3, & a_3 < a_2,\\ \ldots & \\ a_{k-2} = a_{k-1}q_{k-1} + a_k, & a_k < a_{k-1},\\ a_{k-1} = a_kq_k. & \\ \end{array} \right\}\]
Teorēma: Pēdējais nenulles atlikums, ko iegūst, realizējot Eiklīda algoritmu ar skaitļiem \(a_0\) un \(a_1\), ir skaitļu \(a_0\) un \(a_1\) LKD. Turklāt, eksistē tādi veseli skaitļi \(t\) un \(s\), ka \(a_k = ta_0 + sa_1\).
Pirmskaitļi
Definīcija:
Naturālu skaitli \(n>1\) sauc par pirmskaitli, ja tam nav citu dalītāju,
izņemot \(1\) un \(n\).
Pirmskaitļu īpašības:
- Naturāls skaitlis \(n>1\) nav pirmskaitlis tad un tikai tad, kad eksistē tāds skaitļa \(n\) dalītājs \(m>1\), kurš nepārsniedz \(\sqrt{n}\).
- Eiklīda lemma. Ja \(p\) ir pirmskaitlis, un \(p \mid ab\), tad \(p \mid a\) vai \(p \mid b\).
- Eksistē bezgalīgi daudz pirmskaitļu.
- Bertrāna postulāts. Jebkuram naturālam skaitlim \(n \geq 2\) eksistē pirmskaitlis \(p\), kurš atrodas intervālā \(n < p < 2n\).
- Dirihlē teorēma. Ja \((a,b)=1\), tad eksistē bezgalīgi daudz tādu naturālu skaitļu \(n\), ka \(an+b\) ir pirmskaitlis.
Dalāmības pazīmes
Šīs tēmas uzdevumos izmantojamas dalāmības pazīmes ar \(3\), \(9\) un \(11\). Tās ir šādas:
- Skaitlis dalās ar \(3\), ja tā ciparu summa dalās ar \(3\).
- Skaitlis dalās ar \(9\), ja tā ciparu summa dalās ar \(9\).
- Skaitlis dalās ar \(11\), ja tā ciparu summa, kas atrodas pāra pozīcijās,
mīnus ciparu summa, kas atrodas nepāra pozīcijās, dalās ar \(11\).
Uzdevumi, kas izmanto dalāmības pazīmes ar \(2\), \(4\), \(8\), \(5\), \(25\) tiks aplūkoti citās tēmās, jo dalāmības pazīmes ar šiem skaitļiem izmanto tikai skaitļu pēdējos ciparus. Aplūkot skaitļa pēdējos ciparus, nozīmē aplūkot skaitli pēc moduļa \(10^n\).
Vai eksistē 3 viens otram sekojoši skaitļi, kuru reizinājums ir \(19941995199620\)?
Vai \(6\) pēc kārtas ņemtu naturālu skaitļu reizinājums var būt \(1111140960\)?
Andris saskaitīja sešus viens otram sekojošus naturālus skaitļus un ieguva rezultātu, kurā katrs cipars no \(2\) līdz \(9\) sastopams vienu reizi, bet cipars \(1\) – divas reizes. Pierādīt, ka Andris kļūdījās.
Pierādīt, ka skaitlis \(\underbrace{111\ldots{}1}_{\mbox{27 vieninieki}}\) dalās ar \(27\).
Pierādīt, ka skaitlis \(\underbrace{111\ldots{}1}_{\mbox{81 vieninieki}}\) dalās ar \(81\).
Visi piecciparu skaitļi no \(11111\) līdz \(99999\) patvaļīgā secībā uzrakstīti viens aiz otra. Pierādiet, ka uzrakstītais skaitlis nav divnieka naturāla pakāpe.
Aplūkosim visus deviņciparu skaitļus, kuru decimālajā pierakstā katrs cipars no \(1\) līdz \(9\) uzrakstīti tieši vienu reizi. Nosakiet, kāds ir šo skaitļu lielākais kopīgais dalītājs.
No skaitļa 1985 atņēma tā ciparu summu, no rezultāta – tā ciparu summu, utt.
(A) Pierādiet, ka noteikti kādreiz iegūsim viencipara skaitli. (B) Kāds tas būs?
Reizināšanas pierakstā viens cipars aizstāts ar zvaigznīti.
\[1\ast{}74633 \times 2840332 = 3904414098156.\]
Kas tas par ciparu?
Jānis sareizināja visus naturālos skaitļus no \(1\) līdz \(13\) (ieskaitot) un atrada rezultāta otro pakāpi. Iznāca
\[387757880 \ast{} 3632640000,\]
kur viens cipars aizstāts ar zvaigznīti. Atrodiet, kāds cipars aizstāts ar zvaigznīti.
No skaitļa \(1230123012301230\) jāizsvītro vairāki cipari tā, lai iegūtais skaitlis dalītos ar \(9\) un būtu maksimāli liels. Kuri cipari jāizsvītro?
No nenulles cipariem, katru izmantojot tieši 1 reizi, jāizveido triju trīsciparu skaitļu decimālie pieraksti. Vai var gadīties tā, ka
(A) neviens no tiem nedalās ar \(3\),
(B) tie visi dalās ar \(3\),
(C) divi no tiem dalās ar \(3\), bet trešais – nē?
Dots patvaļīgs \(1973\)-ciparu skaitlis, kurš dalās ar \(9\). Šī skaitļa ciparu summu apzīmēsim ar \(a\); skaitļa \(a\) ciparu summu apzīmēsim ar \(b\); skaitļa \(b\) ciparu summu apzīmēsim ar \(c\). Ar ko ir vienāds skaitlis \(c\)?
Atrast vislielāko pozitīvo skaitli, ar kuru dalās katrs skaitlis, kas satur visus ciparus (katru tieši vienu reizi).
Pierādiet, ka, ja pietiekamā un nepieciešamā dalāmības pazīme ar skaitli \(n\) nav atkarīga no skaitļa ciparu secības, tad \(n\) ir vai nu trīs, vai deviņi.
Apzīmēsim skaitļa \(a\) ciparu summu ar \(S(a)\). Pierādiet, ka no vienādības \(S(a) = S(2a)\) seko, ka \(a\) dalās ar \(9\).
Skaitli \(A\) pareizinot ar \(3\), tā ciparu summa nemainās. Pierādīt, ka \(A\) dalās ar \(9\).
Dots, ka \(n\) – kaut kāds naturāls skaitlis. Skaitlim \(2^n\) atrodam ciparu summu. Iegūtajai summai atkal atrodam ciparu summu, utt. Pieņemsim, ka kādreiz iegūsim desmitciparu skaitli. Pierādīt, ka tam ir vismaz divi vienādi cipari.
Vai astoņciparu skaitlis, kura decimālais pieraksts ir simetrisks, var būt pirmskaitlis?
Vai četrciparu skaitlis, kura pirmais cipars vienāds ar pēdējo, bet otrais ar trešo var būt pirmskaitlis?
Ar vienādiem burtiem apzīmēti vienādi cipari, ar dažādiem burtiem – dažādi. Pierādīt, ka vienādība
\[\text{JĀ}\,\times\,\text{NĒ} \,=\, \text{FFGG}\]
nav pareiza.
Pierādiet apgalvojumu: ja skaitlis dalās ar \(99\), tad tā ciparu summa ir ne mazāka kā \(18\).
Autobusa biļetei ir sešciparu numurs no \(000000\) līdz \(999999\). Kādu biļešu ir vairāk: tādu, kuru numuru pirmo trīs ciparu summa ir vienāda ar pēdējo trīs ciparu summu, vai tādu, kuru numurs dalās ar \(11\)?
Pierādiet, ka skaitlis \(\overline{a_1a_2\cdots{}a_{3m}}\) dalās ar \(7\) (\(11\) vai \(13\)) tad un tikai tad, kad skaitlis
\[\overline{a_1a_2a_3} - \overline{a_4a_5a_6} + \cdots + (-1)^{m-1}\overline{a_{3m-2}a_{3m-1}a_{3m}}\]
dalās ar \(7\) (\(11\) vai \(13\)).
Kuri no sekojošiem skaitļiem ir pirmskaitļi? Pamatojiet savu atbildi:
(A) \(1395\); (B) \(131313\); (C) \(1993\); (D) \(1991\).
Pierādīt, ka sešciparu skaitlis dalās ar \(13\) tādā un tikai tādā gadījumā, ja ar \(13\) dalās tā pirmo trīs ciparu un pēdējo trīs ciparu veidoto skaitļu starpība (mazinātājs varētu sākties ar vienu vai vairākām nullēm).
Dalāmības īpašības
Dalāmības īpašības sk. Jēdziens: dalītājs, šeit papildus izmantojam sekojošus apgalvojumus:
- Ja \(p\) ir pirmskaitlis un \(p \mid ab\), tad \(p \mid a\) vai \(p \mid b\).
- Ja \(a_1 \mid m\), \(a_2 \mid m\), \(\ldots\), \(a_n \mid m\), tad \(\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\ldots,a_n)\,\mid\,m\).
- Ja \(a\) un \(b\) ir savstarpēji pirmskaitļi un \(a \mid bc\), tad \(a \mid c\).
Pirmās un trešās īpašības pierādījumi nebūt nav vienkārši. To pamatā ir teorēma par Eiklīda algoritmu un šīs īpašība tiks pierādītas otrajā nodaļā. Otrā īpašība seko no MKD definīcijas. Taču, rēķinot uzdevumus par skaitļu dalāmību, mums pašreiz nav vajadzības zināt aritmētikas pamatteorēmas pierādījumu, un tāpēc pagaidām izmantosim šīs īpašības uzdevumu risināšanā, atceroties, ka to pierādījumi tiks aplūkoti vēlāk, kad tiks pierādīta aritmētikas pamatteorēma. Risinot uzdevumus, jāizmanto arī skaitļa sadalījums pirmreizinātājos un jāmāk uzrakstīt visi skaitļa dalītāji. Arī šajā gadījumā mēs faktiski lietojam aritmētikas pamatteorēmu, kas pagaidām nav pierādīta.
Jautājumi paškontrolei
Pamatojiet norādītās atbildes.
- Dots, ka naturāls skaitlis dalās ar \(3\) un \(4\). Vai šis
skaitlis noteikti dalās ar \(12\)?
Atbilde: jā. - Dots, ka naturāls skaitlis dalās ar \(6\) un \(4\). Vai šis skaitlis
noteikti dalās ar 24?
Atbilde: nē. - Kur ir būtiskā atšķirība starp pirmo un otro jautājumu?
Atbilde: \(3\) un \(4\) ir savstarpēji pirmskaitļi, bet \(6\) un \(4\) – nē. - Skaitlis \(A\) nedalās ar \(3\). Vai skaitlis \(2A\) var dalīties ar \(3\)? Atbilde: nē.
- Dots, ka \(A\) ir pāra skaitlis. Vai skaitlis \(3A\)
noteikti dalās ar \(6\)?
Atbilde: jā. - Skaitlis \(5A\) dalās ar \(3\). Vai skaitlis \(A\) noteikti
dalās ar \(3\)?
Atbilde: jā. - Skaitlis \(15A\) dalās ar \(6\). Vai skaitlis \(A\)
noteikti dalās ar \(6\)?
Atbilde: nē.
Dalāmības īpašības: Ievaduzdevumi
Dots, ka \(5 \mid a\) un \(5 \mid b\). Pierādiet, ka \(5 \mid (a^2 + 7b)\).
Dots, ka \(7 \mid a\). Pierādiet, ka \(7 \mid (a^2 + 3a + 7b - 21)\).
Dots, ka \(n \mid a\) un \(n \mid (5a + b)\). Pierādiet, ka \(n \mid b\).
Dots, ka \(n \mid (a - b)\). Pierādiet, ka \(n \mid (a^2 + a - b^2 - b)\).
Dots, ka \(n \mid 3a\) un \(n \mid (12a + 5b)\). Pierādiet, ka \(n \mid 10b\).
Dots, ka \(5 \mid (a - b)\) un \(7 \mid (a + b)\). Pierādiet, ka \(35 \mid (a^2 - b^2)\).
Doti tādi naturāli skaitļi \(a, b, c\), ka \(a \mid b\), \(b \mid c\), \(c \mid a\). Pierādiet, ka \(a = b = c\).
Dots, ka \(3 \mid (a - 1)\) un \(5 \mid (a+2)\). Pierādiet, ka \(15 \mid (a^2 + a - 2)\).
Kuri no skaitļiem \(101, 111, 141, 143, 155, 161, 163\) ir pirmskaitļi?
Atrodiet visus pirmskaitļus intervālā \([100, 120]\).
Atrodiet visus pirmskaitļus intervālā \([180, 200]\)s.
Ar kādām naturālām \(n\) vērtībām skaitlis \(n^2 - 1\) ir pirmskaitlis?
Dots, ka \(5 \mid 12a\). Pierādiet, ka \(5 \mid a\).
Dots, ka \(7 \mid a\) un \(7 \mid (2a + 3b)\). Pierādiet, ka \(7 \mid b\).
Dots, ka \(5 \mid 7b\) un \(7 \mid 5a\). Pierādiet, ka \(35 \mid ab\).
Dots, ka \(n \mid (5a + 3b)\) un \(n \mid (3a + 2b)\). Pierādiet, ka \(n \mid a\) un \(n \mid b\).
Dots, ka \(n \mid (3a + 7b)\) un \(n \mid (2a + 5b)\). Pierādiet, ka \(n \mid a\) un \(n \mid b\).
Dots, ka \(5 \mid (3a + 4b)\) un \(5 \mid (2a + 3b)\). Pierādiet, ka \(25 \mid ab\).
Pierādiet, ka visiem naturāliem \(n\) skaitlis \(n^2 + n + 6\) dalās ar \(2\).
Dots, ka \(n \mid (a - b)\). Pierādiet, ka \(n \mid (a^3 + a^2 - b^3 - b^2)\).
Dots, ka \(n \mid (a + 2b)\). Pierādiet, ka \(n \mid (a^3 + 2a + 8b^3 + 4b)\).
Dots, ka daļa \(a/b\) ir saīsināma. Vai daļa \((a - b)/(a + b)\) ir saīsināma? Un otrādi, ja zināms, ka daļa \((a - b)/(a + b)\) ir saīsināma, vai daļa \(a/b\) noteikti ir saīsināma?
Dots, ka \(11 \mid (3x + 7y)\) un \(11 \mid (2x + 5y)\). Pierādiet, ka \(121 \mid (x^2 + y^2)\).
Doti tādi naturāli skaitļi \(a,b\), ka \(a \mid (a + b)\) un \(b \mid (a + b)\). Pierādiet, ka \(a = b\).
Dots, ka \(2 \mid (a - 1)\) un \(3 \mid (a + 1)\). Pierādiet, ka \(6 \mid (a^2 + 5)\).
Dots, ka \(6 \mid (a - b)\) un \(6 \mid (a + b)\). Pierādiet, ka \(3 \mid (a^2 + 8b^2)\).
Ar kādām naturālām \(n\) vērtībām skaitlis \(n^3-1\) ir pirmskaitlis?
Ar kādām naturālām \(n\) vērtībām skaitlis \(n^2+5n+6\) ir pirmskaitlis?
Ar kādām naturālām \(a\) un \(b\) vērtībām skaitlis \(ab + a + b + 1\) ir pirmskaitlis?
Dots, ka \(4 \mid x\) un \(3 \mid y\). Pierādiet, ka \(12 \mid (xy + 8y + 9x)\).
Dots, ka \(11 \mid (4a + b)\) un \(11 \mid (a+4b)\). Pierādiet, ka \(11 \mid a\) un \(11 \mid b\).
Dots, ka \(7 \mid (3a + b)\) un \(7 \mid (a + 3b)\). Pierādiet, ka \(49 \mid ab\).
Dots, ka \(7 \mid (2a + 3b)\). Pierādiet, ka \(7 \mid (a + 5b)\).
Dots, ka \(13 \mid (a + 4b)\). Pierādiet, ka \(13 \mid (10a + b)\).
Dots, ka \(11 \mid (3a + 7b)\). Pierādiet, ka \(11 \mid (4a + 2b)\).
Pierādiet, ka skaitlis \(4a + 5b\) dalās ar \(17\) tad un tikai tad, kad skaitlis \(7a - 3b\) dalās ar \(17\).
Ar kādām naturālām \(n\) un \(m\) vērtībām skaitlis \((n-m)(n^2+m-1)\) ir pirmskaitlis?
Atrodiet vismaz vienu naturālu skaitli \(n\), lai intervālā \([n, n + 10]\) nebūtu neviena pirmskaitļa.
Ar kādu ciparu beidzas reizinājums
\[11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 \cdot 19 \cdot 20 \cdot 21 \cdot 22 \cdot 23 ?\]
Četrus veselus pozitīvus skaitļus katru dalīja ar \(5\) ar atlikumu. Iegūto atlikumu summa ir \(3\). Pierādīt, ka šo četru skaitļu reizinājums dalās ar \(5\).
Dalot \(1 \cdot 2\) ar \(3\), \(2 \cdot 3\) ar \(4\), \(3 \cdot 4\) ar \(5\), atlikumā iegūst \(2\). Vai vienmēr, dalot divu viens otram sekojošu naturālu skaitļu reizinājumu ar nākošo naturālo skaitli, atlikuma iegūst \(2\)?
Pierādīt, ka \(2^{1995} + 2^{1996} + 2^{1997} + 2^{1998}\) dalās ar \(15\).
Dots, ka \(a\) un \(b\) ir naturāli skaitļi un \(a+b = 210\). Pierādīt, ka \(ab\) nedalās ar \(210\).
Uz skaitļu ass attēloti vairāki veseli skaitļi, kas ņemti pēc kārtas (skat. 1. zīm.):
Divi no tiem skaitļiem, kas attēloti ar melniem aplīšiem, dalās ar \(3\), bet divi – ar \(5\) (nav zināms, kuri). Norādiet zīmējumā skaitli, kurš dalās ar \(15\). Pamatojiet savu atbildi.
Doti \(6\) stieņi, katrs \(50\) cm garš. Vai tos var sagriezt gabalos tā, lai rastos \(12\) gabali ar garumu \(12\) cm katrs, \(30\) gabali ar garumu \(3\) cm katrs un \(11\) gabali ar garumu \(6\) cm katrs?
(A) Vai piecu pēc kārtas ņemtu skaitļu summa var būt \(24\)?
(B) Vai tā var būt \(1984\)?
(C) Vai tā var būt \(1985\)?
Naturālus skaitļus no \(1\) līdz \(25\) ieskaitot jāsadala vairākās grupās ( katram skaitlim jānonāk tieši vienā grupā) tā, lai katrā grupā mazākais skaitlis būtu \(8\) reizes mazāks par visu citu šīs grupas skaitļu summu. Vai to var izdarīt?
Trīs no aritmētiskās progresijas locekļiem ir \(41\), \(113\), \(193\). Atrast lielāko iespējamo diferences vērtību, ja zināms, ka tā ir vesels skaitlis.
Pierādīt, ka \(10a+b\) dalās ar \(7\) tad un tikai tad, ja \(a-2b\) dalās ar \(7\) (\(a\) un \(b\) ir naturāli skaitļi).
Dots, ka \(a\) un \(b\) -- naturāli skaitļi un gan \(3a+4b\), gan \(2a+3b\) dalās ar \(7\). Pierādīt, ka gan \(a\), gan \(b\) dalās ar \(7\).
Dots, ka \(a\) - naturāls skaitlis, \(p\) - pirmskaitlis, pie tam \(3 a+1\) un \(a-8\) dalās ar \(p\). Aprēķināt \(p\).
Naturāli skaitli \(a\) un \(b\) ir tādi, ka \(34a = 43b\). Vai \(a+b\) var būt pirmskaitlis?
Dots, ka \(a, b, c\) - dažādi naturāli skaiţ̦li. Kāds lielākais daudzums no skaiţ̦iem \(a+b, \quad a+c, \quad b+c\) var būt pirmskaitļi?
Noskaidrojiet
(A) vai visu naturālo skaitļu reizinājums no \(1\) līdz \(76\) ieskaitot dalās ar \(77\);
(B) vai visu naturālo skaitļu reizinājums no \(1\) lîdz \(100\) ieskaitot dalās ar \(101\)?
(A) Pierādīt, ka katru \(499\) pēc kārtas n̦emtu naturālu skaitļu reizinājums dalās ar \(1996\).
(B) Vai katru \(498\) pēc kārtas n̦emtu naturālu skaitlu reizinājums dalās ar \(1996\)?
(A) atrast kaut vienu \(n\) ar īpašību: jebkuru pēc kārtas n̦emtu \(n\) naturālu skaiţlu summa dalās ar \(1996\),
(B) atrast vismazāko \(n\), kam piemīt (A) punktā minētā īpašība.
Kāds lielākais pirmskaitlu daudzums var būt sastopams starp \(12\) pēc kārtas n̦emtiem naturāliem skaitļiem?
Zināms, ka dalot skaitlus \(2077\) un \(100\) ar \(a\), iegūti vienādi atlikumi. Kādas var būt skaitļa \(a\) vērtības?
Dalot skaitli \(1987\) ar \(a\), atlikumā ieguva skaitli \(9\). Kādas var būt skaitļa \(a\) vērtības?
Skaitli \(1991\) dalot ar \(a\), atlikumā iegūst \(9\). Kāds var būt \(a\)?
Vai dažādu pirmskaitļu apgriezto lielumu summa var būt vesels skaitlis?
Naturāls skaitlis \(A\), dalot ar \(1981\), dod atlikumā \(35\), bet, dalot ar \(1982\), dod atlikumā \(13\). Kādu atlikumu dod \(A\), dalot ar \(14\)?
Doti \(12\) pēc kārtas n̦emti naturāli skaitl̦i. Pierādiet, ka vismaz viens no tiem ir mazāks par savu dalītāju summu. (Tiek ņemti skaița naturālie dalītāji, kas mazāki par pašu skaitli).
Vai iespējams norādīt tādu galīgu skaitu ģeometrisko progresiju, kuru locekļi ir naturāli skaitļi, ka jebkurš naturāls skaitlis piederētu vismaz vienai progresijai?
(A) Atrast mazāko naturālo skaitli, kuru
- dalot ar \(2\), iegūst atlikumā \(1\);
- dalot ar \(3\), iegūst atlikumā \(2\);
- dalot ar \(4\), iegūst atlikumā \(3\);
- dalot ar \(5\), iegūst atlikumā \(4\);
- dalot ar \(6\), iegūst atlikumā \(5\).
(B) Atrast mazāko naturālo skaitli, kuru dalot ar \(n, n+1, \ldots, n+m\), iegūst atlikumā atbilstoši \(r, r+1, \ldots, r+m\).
Noteikt, kāds varēja būt mazākais kokosriekstu skaits, ko savāca pieci jūrnieki uz neapdzīvotas salas, ja viṇi dalīja kokosriekstus šādi: pirmais no viņiem, kamēr pārējie gulēja, iedeva vienu riekstu pērtiķim un paņēma sev \(\frac{1}{5}\) no atlikušajiem riekstiem; tālāk tieši tāpat pēc kārtas rīkojās visi pārējie jūrnieki. Pēc tam visi kopā vēl vienu reizi dalīja riekstus: Vienu iedeva pērtiķim, bet pārējos sadalīja savā starpā piecās vienādās daļās.
Dots, ka \(a, b, c\) - naturāli skaitļi. Cik daudzi no skaitļiem \(a+b\), \(a+c\), \(b+c\) var vienlaikus dalîties ar \(3\)?
Atrast kaut vienu veselu skaitli \(n\), kas apmierina divas šādas īpašības:
a. \(n\) nedalās ne ar vienu no skaițiem \(2,3,4,5,6,7,8,9,10\), b. \(n-1\) dalās ar katru no skaitļiem \(2,3,4,5,6,7,8,9,10\).
Kāds ir lielākais daudzums pēc kārtas n̦emtu naturālu trīsciparu skaitlu, no kuriem nevienu nevar izsacìt kā divu (dažādu vai vienādu) divciparu skaitļu reizinājumu?
Vai iespējama vienādība \(a,bc=\overline{ab}: c\) ?
Piezīme: \(a,bc\) ir decimāldala ar ciparu \(a\) pirms komata un cipariem \(b\) un \(c\) aiz komata; \(\overline{ab}\) ir divciparu skaitlis.
Ar \(\overline{xyz}\) apzīmēsim trīsciparu skaitli ar cipariem \(x,y,z\). Pierādīt, ka, ja \(\overline{abc}\) dalās ar \(37\), tad arī \(\overline{bca}+\overline{cab}\) dalās ar \(37\).
Atrast visus divciparu skaitlus, kuru summa ar skaitli, kas pierakstitts ar tiem pašiem cipariem otrādā kārtībā, ir naturāla skaiţ̦a kvadrāts.
Atrast visus naturālos divciparu skaitlus, kam piemīt īpašība: šī skaiț̣a un skaiţ̦a, kuru iegūst mainot tā ciparus vietām, starpība ir kāda naturāla skaiţ̦a kvadrāts.
Atrisināt pirmskaiţ̦os vienādojumu
\[x^{3}-y^{3}=z.\]
Doti četri naturāli skaiţ̧i \(a, b, c, d\), kuri ir savstarpēji pirmskaitļi ar skaitli \(m = ad - bc\). Pierādiet, ka visām veselām \(x\) un \(y\) vērtībām, kurām \(ax + by\) dalās ar \(m\), skaitlis \(cx + dy\) arī dalās ar \(m\).
Doti tādi veseli skaiţ̦i \(u\) un \(v\), ka \(u^{2}+u v+v^{2}\) dalās ar 9. Pierādiet, ka abi skaitlii \(u\) un \(v\) dalās ar \(3\).
Pierādiet, ka naturāls skaitlis \(n\) ir pirmskaitlis tad un tikai tad, kad eksistē viens vienīgs skaitļu pāris \((x, y)\), kuram izpildās vienādība \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{n}\).
Atņemot no divciparu skaița \(\overline{ab}\) divciparu skaitli \(\overline{ba}\), ieguva naturāla skaiţ̦a kubu. Atrast visus tādus skaiţlus, kuriem izpildās šāda īpašība.
Pirmo \(n\) naturālo skaitlu summa ir trīsciparu skaitlis, kuram visi cipari ir vienādi. Atrast skaitli \(n\).
Zināms, ka divu dotu racionālu skaitlu summa un reizinājums ir veseli skaitļi.
(A) Pierādīt, ka dotie skaitļi paši ir veseli.
(B) Vai apgalvojums paliek spēkā, ja nav zināms, ka dotie skaitļi ir racionāli?
Naturālu skaitli sauc par interesantu, ja tā ciparu summa dalās ar \(5\).
(A) Atrast kaut vienu tādu interesantu \(x\), ka ari \(x+9\) ir interesants,
(B) Cik pavisam ir tādu interesantu \(x\), kādi minēti (A) punktā?
(C) Pierādīt: starp jebkuriem 9 pēc kārtas n̦emtiem naturāliem skaitliem ir vismaz viens interesants.
Atrodiet divciparu skaitli, kurš ir vienāds ar otrā cipara kvadrāta un pirmā cipara summu.
Atrodiet trīsciparu skaitli, kuru kāpinot jebkurā naturālā pakāpē, iegūstam skaitli, kura pēdējie trīs cipari veido sākotnējo skaitli.
Atrodiet visas tādas naturālu skaitļu virknes \((a_n)\), kurām izpildās sekojošas īpašības:
a. visiem naturāliem \(n\), \(a_n \leq n\sqrt{n}\),
b. visiem naturāliem \(m\) un \(n\) starpība \(a_m - a_n\) dalās ar \(m-n\).
Dots naturāls skaitlis \(m\). Noteikt cik daudz ir tādu veselu nenegatīvu skaitlu \(k\), kuriem \(m+k^{2}\) ir pilns kvadrāts.
Pierādiet, ka pirmos \(n\) naturālos skaitlus nevar sadalīt divās grupās tā, lai visu vienas grupas skaitlu reizinājums būtu vienāds ar visu otrās grupas skaitḷu reizinājumu.
Atrodiet visus tādus naturālus skaitlus \(m\), kuriem izpildās vienādība
\[1! \cdot 3! \cdot 5! \cdot \cdots \cdot (2m-1)! = \left(\frac{m(m+1)}{2}\right)!\]
Skolotājs uzrakstīja uz tāfeles naturālu skaitli. Pirmais skolnieks pateica, ka šis skaitlis dalās ar \(2\), otrais -- ka šis skaitlis dalās ar \(3\), utt., trīsdesmitais -- ka šis skaitlis dalās ar \(31\). Izrādījās, ka \(28\) skolnieki ir pateikuši taisnību, bet divi, ka atbildēja viens pēc otra, ir kļūdījušies. Kuri no skolniekiem kḷūdījās?
Atrodiet visus reālu skaitļu trijniekus \((a, b, c)\), kuriem visi skaitļi \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\), \(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}, \frac{c}{a}+\frac{a}{b}\) ir veseli.
Pien̦msim, ka \(p\) un \(q\) ir divi viens otram sekojoši nepāra pirmskaitļi. Pierādīt, ka \(p+q\) ir vismaz trīs naturālu skaitļu reizinājums, katrs no kuriem ir lielāks par \(1\).
Skaiţ̦a n! Dalītāji
Pirmo \(n\) naturālo skaitlu reizinājumu apzīmē ar \(n!\). Skaidrs, ka visi naturālie skaitļi (tai skaitā arī pirmskaitļi), kas nepārsniedz \(n\) ir skaitļa \(n!\) dalītāji. Šis vienkāršais apgalvojums tiks izmantots sekojošo uzdevumu risināšanai.
Vispirms aplūkosim, kā šo ideju bija izmantojis Eiklīds, lai pierādītu, ka pirmskaitļu skaits ir bezgalīgs. Pien̦emsim pretējo, ka pirmskaitļu skaits ir galīgs. Tādā gadījumā aplūkosim visus pirmskaitļus \(p_{1}<p_{2}<\cdots<p_{n}\). Ņemsim skaitli \(N=p_{1} p_{2} \cdots p_{n}+1\). Skaitlis \(N\) dalās ar kādu pirmskaitli \(p\). Skaidrs, ka \(p \neq p_{i}\), jo pretējā gadījumā iegūstam, ka \(p \mid\left(p_{1} p_{2} \cdots p_{n}+1\right)\), tātad
\[p \mid\left(\left(p_{1} p_{2} \cdots p_{n}+1\right)-\left(p_{1} p_{2} \cdots p_{n}\right)\right)=1,\]
kas nav iespējams. Šī pretruna pierāda, ka pirmskaitļu skaits ir bezgalīgs.
Šis rezultāts ir pirmais jautājumā par to, cik daudz ir pirmskaitļu - precīzāk: cik bieži naturālo skaiţ̦u virknē ir sastopami pirmskaitļi? Šis jautājums faktiski ir pamatā veselam skaitļu teorijas virzienam, ko sauc par pirmskaitļu sadalījuma teoriju. Lai novērtētu pirmskaitļu daudzumu, tiek aplūkota funkcija \(\Pi(x)\), kuru definē šādi: \(\Pi(x)\) ir pirmskaitļu skaits, kuri nepārsniedz \(x\). Apgalvojumu, ka pirmskaitļu skaits ir bezgalīgs var pierakstīt šādi:
\[\lim _{x \rightarrow \infty} \prod_{0}(x)=\infty .\]
Taču, kā zināms, funkcijas, kuras bezgalībā tiecas un bezgalību, var augt ātrāk vai lēnāk. Precīzs funkcijas \(\Pi(x)\) augšanas ātruma novērtējums redzams teorēmā par pirmskaitļu sadalījumu. Šo hipotēzi 16 gadu vecumā izteica Gauss, un 1896. gadā neatkarīgi pierādīja Adamārs un Valle-Pusens.
Teorēma (par pirmskaitļu izvietojumu): Ir spēkā sekojoša robeža:
\[\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\prod(x) \cdot \frac{\ln x}{x}\right)=1.\]
Teorēma būtībā nozīmē, ka starp pirmajiem \(n\) naturālajiem skaițiem ir apmēram \(\frac{n}{\ln n}\) pirmskaitļu.
Tomēr uzdevumi par pirmskaitļu sadalījumu ir ļoti sarežğîti, un daudzi no tiem arī pašreiz nav atrisināti. Neatrisināti, piemēram, ir šādi uzdevumi.
- Vai eksistē bezgalīgi daudz pirmskaitļu, kas uzrakstāmi formā \(n^{2}+1\) ?
- Vai eksistē bezgalīgi daudz pirmskaitļu, kas uzrakstāmi formā \(2^{n}+1\) ? (Fermā pirmskaitlii).
- Vai eksistē bezgalīgi daudz pirmskaitļu, kas uzrakstāmi formā \(2^{n}-1\) ? (Mersena pirmskaitļi).
- Vai eksistē bezgalīgi daudz tādu pirmskaitļu \(p\), kuriem skaitlis \(p+2\) arī ir pirmskaitlis? (Dvīņu problēma).
Tagad paskatīsimies, kā Eiklīda ideja tiek izmantota uzdevumu risināšanā.
Vai \((n-1)!\) dalās ar \(n\), ja
(A) \(n=16\),
(B) \(n=41\),
(C) \(n=1991\),
(D) \(n=1993\)?
Pierādīt, ka var atrast \(1000\) pēc kārtas ņemtus naturālus skaitļus starp kuriem nav neviena pirmskaitļa.
Pierādiet, ka mazākais naturālais skaitlis \(N>1\), kurš ir savstarpējais pirmskaitlis ar skaițiem \(1,2, \ldots, n\), ir pirmskaitlis.
Pierādiet, ka eksistē bezgalīgi daudz tādu pirmskaitlu \(q\), kuriem eksistē tāds naturāls skaitlis \(n<q\), ka skaitlis \((n-1)!+1\) dalās ar \(q\).
Kādiem naturāliem \(n\) skaitlis \((n-1)!\) nedalās ar \(n\)?
Dots nepāra skaitlis \(n>1\). Pierādiet, ka \(n\) un \(n+2\) ir pirmskaitļi tad un tikai tad, kad \((n-1)!\) nedalās ne ar \(n\), ne ar \(n+2\).
Ar \(n?\) apzīmēsim visu pirmskaitḷu reizinājumu, kuri nepārsniedz \(n\). Pierādiet, ka visiem \(n \geq 4\) izpildās nevienādība \((n-1)? > n\).
Ar \(p_{n}\) apzīmēsim \(n\)-to pēc kārtas pirmskaitli. Pierādiet, ka visiem naturāliem \(n\) izpildās nevienādība \(p_{n}<2^{2^{n}}\).
Pierādiet, ka eksistē bezgalīgi daudz tādu pirmskaitļu \(p\), ar kuriem vienādojumam \(x^{2}+x+1 = py\) eksistē atrisinājums veselos skaitļos.
Ar \(q_{n}\) apzīmēsim mazāko pirmskaitli, kurš nav \(n\) dalītājs. Pierādiet, ka \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{q_{n}}{n}=0\).
Pierādīt, bezgalīgi daudziem pirmskaitļiem \(p\) var atrast tādus naturālus skaitļus \(x\) un \(y\), ka \(2x^2 + 2x + 1 = py\).
Lielākais kopīgais dalītājs un mazākais kopīgais dalāmais
Izdalīt ar atlikumu:
(A) \(1996\) ar \(11\),
(B) \(200\) ar \(10\),
(C) \(15\) ar \(1\),
(D) \(0\) ar \(5\),
(E) \(-17\) ar \(3\),
(F) \(3 ar \)12\(,
**(G)** \)-3\( ar \)12\(,
**(H)** \)-18\( ar \)3\(,
**(I)** \)-111\( ar \)7\(.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.2
Ar Eiklīda algoritmu aprēķināt:
**(A)** \)(33,18)\(,
**(B)** \)(1260,406)\(,
**(C)** \)(56,39)\(,
**(D)** \)(312,138)\(.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.3
Izmantojot formulu \)[a,b] = ab/(a,b)\(, aprēķināt \)[a,b]\(:
**(A)** \)[30,18]\(,
**(B)** \)[55,25]\(,
**(C)** \)[143,91]\(,
**(D)** \)[200,150]\(.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.4
Saīsināt daļas:
**(A)** \)39/24\(,
**(B)** \)60/16\(,
**(C)** \)612/522\(,
**(D)** \)3053/4343\(.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.5
Ar Eiklīda algoritmu aprēķināt \)d=(a,b)\(, un izteikt skaitli \)d\( formā \)ua + vb\(.
**(A)** \)(15,9)\(,
**(B)** \)(187,68)\(,
**(C)** \)(200,325)\(,
**(D)** \)(200,40)\(.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.6
Dots, ka \)a-b\( dalās ar \)5\(, un \)a+b\( dalās ar \)5\(. Pierādiet, ka abi skaitļi
\)a\( un \)b\( dalās ar \)5\(.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.7
Dalot skaitli \)a\( ar \)13\(, iegūstam nepilno dalījumu \)17\(.
Noteikt skaiț̣a \)a\( lielāko iespējamo vērtību.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.8
Dalot skaitli \)x\( ar \)7\(, iegūstam nepilno dalījumu \)11\(.
Kādas vērtības var pien̦emt skaitlis \)x\(?
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.9
Skaitli \)a\( dalot ar \)12\(, atlikumā iegūstam \)7\(. Kādu atlikumu iegūsim, skaitli
\)a\( dalot ar \)6\(?
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.10
Skaitli \)a\( dalot ar \)18\(, atlikumā iegūstam \)12\(. Kādu atlikumu iegūsim,
skaitli \)a\( dalot ar \)3\(?
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.11
Dots, ka \)(a,b)=6\(. Kādas vērtības var pien̦emt sekojošie skaitļi?
**(A)** \)(a, b+5a)\(,
**(B)** \)(8a+3b, 5a+2b)\(,
**(C)** \)(4a, 4b)\(,
**(D)** \)(a, 2b)\(,
**(E)** \)(5a, 2b)\(,
**(F)** \)(4a+6b, 6a+8b)\(.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.12
Dots, ka \)(x, y)=10\(. Kādas vērtības var pien̦mt sekojošie skaitļi?
**(A)** \)(x, y+3x)\(,
**(B)** \)(3x+7y, 2x+5y)\(,
**(C)** \)(x, 2y)\(,
**(D)** \)(3x, 3y)\(,
**(E)** \)(3x, 2y)\(,
**(F)** \)(2x+2y, 3x+4y)\(,
**(G)** \)(4x+6y, 6x+10y)\(,
**(H)** \)(30x+14y, 21x+10y)\(.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.13
Dots, ka \)10 \mid (4a+3b)\( un \)10 \mid (3a+5b)\(. Pierādiet, ka \)10 \mid a\(
un \)10 \mid b\(.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.14
Pierādiet, ka trīs pēc kārtas n̦emtu naturālu skaițlu reizinājums dalās ar \)6\(.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.15
Dots, ka \)6 \mid(3a-8b)\( un \)6 \mid (2a-3b)\(. Pierādiet, ka \)36 \mid \left(a^{2} + ab + b^{2}\right)\(.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.16
Pierādiet, ka skaitļi \)\left(n^{3}-1\right)/(n-1)\( un \)(n+1)^{2}\( ir savstarpēji pirmskaitļi.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.17
Dots, ka \)2a+3b\( dalās ar \)5\( un \)2a+9b\( dalās ar \)5\(. Pierādiet, ka abi skaitļi \)a\( un \)b\( dalās ar \)5\(.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.18
Cik daudz ir trīsciparu skaitļu, kas dalās ar \)13\(?
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.19
Cik daudz ir četrciparu skaițlu, kas dalās ar \)7\(?
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.20
Pierādiet, ka skaitļi \)n^{3} + 2n\( un \)n^{2}+1\( ir savstarpēji pirmskaitļi visām \)n\( vērtībām.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.21
Dalāmais ir vienāds ar \)371\(, bet nepilnais dalījums ir \)14\(.
Nosakiet iespējamās dalītāja vērtības un atbilstošos atlikumus.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.22
Dalot skaitli \)100\( ar \)b\(, atlikumā ieguvām \)6\(. Kādas vērtības var pien̦emt skaitlis \)b\(?
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.23
Dots, ka \)(a,c)=1\( un \)(b,c)=1\(. Pierādiet, ka \)(ab, c)=1\(.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.24
Dots, ka \)(a,b)=1\(. Kādas vērtības var pieņemt skaitlis
\)\left(a+b, a^{2}+b^{2}\right)\(?
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.25
Pierādiet, ka četru pēc kārtas n̦emtu naturālu skaitļu reizinājums dalās ar \)24\(.
#
# <lo-exercise/> BBK2012.P1.E4.26
Dots, ka \)5\,\mid\,(4a+7b)\( un \)5\,\mid\,(3a+8b)\(. Pierādiet, ka \)250\,\mid\,ab(a+b)\(.
#
# <lo-sample/> BBK2012.P1.90
Dots, ka \)a\( un \)b\( ir divi naturāli skaitļi. Vai var būt, ka to lielākais kopējais dalītājs
ir \)32\(, bet to mazākais kopīgais dalāmais ir \)1200\(?
#
# <lo-sample/> BBK2012.P1.91
Pierādīt, ka skaiţu \)19951995\( un \)19952003\( lielākais kopīgais dalītājs ir \)1\(.
#
# <lo-sample/> BBK2012.P1.92
Dots naturāls skaitlis \)n\(. Pierādīt, ka abi skaiț̣i \)2n+5\( un \)3n+8\( vienlaicīgi nedalās
ne ar kādu naturālu skaitli, kas lielāks par \)1\(.
#
# <lo-sample/> BBK2012.P1.93
Dots, ka \)n\( - naturāls skaitlis. Pierādīt, ka \)3n+2\(
un \)7n+5\( ir savstarpēji pirmskaitļi.
#
# <lo-sample/> BBK2012.P1.94
Aritmētiskā progresija, kuras locekļi ir veseli skaitļi satur skaitļus
\)13\(, \)37\( un \)79\(.
Kāda var būt lielākā šīs progresijas diferences vērtība?
#
# <lo-sample/> BBK2012.P1.95
Atrodiet kaut vienu tādu naturālu skaitli \)n\(, ka \)n\( dalās ar \)6,(n+1)\( dalās ar \)5\(,
\)(n+2)\( dalās ar \)4\(, \)(n+3)\( dalās ar \)3\(, \)(n+4)\( dalās ar \)2\(.
#
# <lo-sample/> BBK2012.P1.96
Dots, ka \)n\( dalās ar \)6\(, \)n\( - naturāls skaitlis. Pierādīt, ka \)n\( var sadalīt
triju dažādu veselu pozitīvu saskaitāmo summā tā, lai katriem diviem no tiem
lielākais kopīgais dalītājs būtu \)1\(.
#
# <lo-sample/> BBK2012.P1.97
Pierādīt, ka katru naturālu skaitli, kas lielāks par \)17\(,
var izsacīt kā triju tādu
naturālu skaitļu summu, no kuriem katriem diviem
lielākais kopīgais dalītājs ir \)1\(.
#
# <lo-sample/> BBK2012.P1.98
Doti naturāli skaitļi \)x\( un \)y\(; \)u\( ir to lielākais kopigais dalītājs,
\)v\( ir to mazākais kopīgais dalāmais. Atrisināt vienādojumu sistēmu.
\[\left\{\begin{array}{l} x \cdot y \cdot u \cdot v = 3600 \\ u + v = 32 \\ \end{array}\right.\]
Virknē uzrakstīti cipari no \)1\( līdz \)9\(:
\[1\;\;2\;\;3\;\;4\;\;5\;\;6\;\;7\;\;8\;\;9\]
Kādu lielāko daudzumu semikolu var ievietot starp blakus esošiem cipariem, lai tie sadalītu ciparu virkni tādu naturālo skaitļu pierakstos, no kuriem katriem diviem lielākais kopīgais dalītājs ir \)1\(? (Piemēram, pieraksts \)123;45678;9\( neder, jo \)123\( un \)9\( abi dalās ar \)3\(.)
Sešciparu skaitļa \)N\( pirmais cipars ir \)7\(, piektais - \)2\(, bet pēdējais - nepāra skaitlis. Zināms, ka dalot \)N\( ar skaiţ̧iem \)3\(, \)4\(, \)7\(, \)9\(, \)11\( un \)13\(, rezultātā iegūstam vienādus atlikumus. Atrodiet skaitli \)N\(.
Doti naturāli skaitļi \)a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n}\(. Pierādiet, ka \)\left[ a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} \right] \geq n a_{1}\(.
Doti naturāli skaitļi \)a\( un \)b\(. Pierādiet, ka no skaitļiem \)a, 2a, 3a, \ldots, ba\( tieši \)(a,b)\( dalās ar \)b\(.
Doti veseli skaitļi \)a\( un \)b\(. Pierādiet, ka skaitļu \)a+b\( un \)a^{2}+b^{2}\( LKD ir vienāds ar \)1\( vai \)2\(.
Skaitļu virkne \)(a_i)\( tiek definēta šādi:
\[a_1=19,\;a_2=90,\;a_{n+2}=a_n+a_{n+1},\;\mbox{ja}\;n=1,2,3,\ldots.\]
Atrast skaitļu \)a_{1989}\( un \)a_{1990}\( lielāko kopīgo dalītāju.
Kādu lielāko vērtību var pieņemt skaitļu \)a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10}\( LKD, ja to summa ir \)1001\(?
Skaitļi \)a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{10}\( ir veseli pozitīvi skaitļi un
\[a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{10}=1001\]
Kādas vērtības var būt skaitļu \)a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{10}\( lielākajam kopīgajam dalītājam?
Skaitlis \)2401\( ir izteikts kā \)25\( naturālu skaitļu summa. Kāda ir mazākā iespējamā šo skaitļu MKD vērtība?
Kādu lielāko daudzumu naturālu skaitļu, kas nepārsniedz \)360\(, var izvēlēties tā, lai neviens no tiem nebūtu pirmskaitlis, bet katru divu izraudzīto skaitļu lielākais kopīgais dalītājs būtu \)1\(?
Pierādīt, ka no katriem
(A) trim,
(B) pieciem,
(C) septiņiem
pēc kārtas n̦emtiem naturāliem skaiţ̦iem var izvēlēties vienu tā,
ka tas ir savstarpējs pirmskaitlis ar katru no pārējiem.
Doti naturāli skaiţ̧i \)a\( un \)b\(. Zināms, ka \)\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}\( ir vesels skaitlis. Pierādīt, ka \)(a, b) \leq \sqrt{a+b}\(.
Doti naturāli skaiţ̦i \)a, b, a^{\prime}, b^{\prime}\(. Apzīmēsim \)(a, b)\( ar \)d\( un \)a^{\prime}, b^{\prime}\( ar \)d^{\prime}\(. Pierādīt, ka \)\left(a a^{\prime}, a b^{\prime}, b a^{\prime}, b b^{\prime}\right)=d d^{\prime}\(.
Vai skaitlis \)x\( noteikti ir racionāls, ja zināms, ka racionāli ir sekojoši skaitļi
(A) \)x^{55}\( un \)x^{89}\(,
(B) \)x^{91}\( un \)x^{42}\(?
Doti naturāli skaiţ̦i \)a, b, c\(, kuriem \)(a, b, c)=1\(, un izpildās vienādība
\[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\]
Pierādiet, ka \)a+b\( ir naturāla skaiţ̦a kvadrāts.
Naturāliem skaiţ̧iem \)x, y, z\( izpildās vienādība \)\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\(. Skaitļu \)x, y, z\( lielākais kopīgais dalītājs ir \)h\(. Pierādīt, ka skaitļi \)h x y z\( un \)h(y-z)\( ir kvadrāti.
Atrodiet visus tādus dažādu naturālu skaitļu trijniekus, kuriem skaitļi \)ab\(, \)ac\( un \)bc\( veido aritmētisko progresiju.
Dots naturāls skaitlis \)n\(. Aplūkosim tādu naturālu skaiţ̦u pārus \)(u, v)\(, kuriem \)[u, v]=n\(. Pierādiet, ka šādu pāru skaits ir vienāds ar skaiț̣a \)n^{2}\( pozitīvo dalītāju skaitu.
Aplūkojam visus naturālos skaitļus no \)1\( līdz
\)2\,000\,000\( ieskaitot. Izvēlēsimies
no tiem kaut kādus \)1\,000\,001\( skaitļus.
(A) Pierādīt, ka starp izvēlētajiem skaitļiem
noteikti atradīsies divi tādi, kas ir savstarpēji
pirmskaitļi.
(B) Vai to noteikti var apgalvot, ja tiek izvēlēti
\)1\,000\,000\( skaitļi?
Uz tāfeles uzrakstìti 1999 naturāli skaiţ̦i (starp tiem var būt arī vienādi). Ar vienu gājienu aţ̦auts nodzēst divus skaitlus un to vietā uzrakstīt nodzēsto skaitlu lielāko kopīgo dalītāju un mazāko kopīgo dalāmo.
Pierādīt, ka izdarot šādus gājienus pietiekami ilgi, uz tāfeles uzrakstītie skaitļi kādreiz pārstās mainīties.
Doti naturāli skaitļi \)a\(, \)b\( un \)m\(; \)\mbox{LKD}(a,b)=1\(. Pierādiet, ka aritmētiskajā progresijā \)ak+b\(, (\)k=0,1,2,\ldots\() ir bezgalīgi daudz locekļu, kas ir savstarpēji pirmskaitļi ar skaitli \)m\(.
Doti \)12\( dažādi naturāli skaiţ̦li. Katriem \)5\( no tiem mazākais kopīgais
dalāmais ir viens un tas pats skaitlis \)M\(. Ir zināms, ka no dotajiem
\)12\( skaitliem var izvēlēties \)x\( skaiţ̧us tā, ka katri divi no izvēlētajiem
skaiţ̦liem ir savstarpēji pirmskaitļi.
(A) Pierādīt, ka \)x \leq 4\(.
(B) Pierādīt, ka var gadīties, ka \)x=4\(.
Dota virkne \)x_1=19,\;x_2=95,\;x_{n+2}=\mbox{LKD}(x_{n+1},x_n)+x_n\(, ja \)n \geq 1\(. Atrast skaitļu \)x_{1995}\( un \)x_{1996}\( lielāko kopīgo dalītāju.
Skaitļa n daudzkārtņu skaits intervālā
Teorēma (par daudzkārtņu skaitu intervālā): Starp pirmajiem \)m\( naturālajiem skaitļiem ir tieši \)\left\lfloor \frac{m}{n}\right\rfloor\( skaitla \)n\( daudzkārtņu.
Pierādījums. Skaiț̣a \)n\( daudzkārtņi, kas nepārsniedz \)m\( ir uzrakstāmi formā \)1 \cdot n, 2 \cdot n, \ldots, k \cdot n\(, turklāt \)kn \leq m\( un \)(k+1)n > m\(. Šādu daudzkārtṇu skaits ir \)k\(.
Pārveidojot nevienādības, iegūstam \)k \leq \frac{m}{n}<k+1\(. Tātad \)k=\left\lfloor \frac{m}{n} \right\rfloor\(.
Cik daudz ir tādu naturālu skaitļu \)n \leq 1983\(, kuriem \)3n+5\( dalās ar \)7\(?
Cik daudz ir tādu naturālu skaitļu \)n \leq 1000\(, kuri nedalās ne ar \)5\(, ne ar \)7\(?
Atrast
(A) visu to naturālo skaitļu summu, kas nepārsniedz \)1000\( un dalās ar \)5\(;
(B) visu to naturālo skaitļu summu, kas nepārsniedz \)1000\( un dalās
vai nu ar \)3\(, vai ar \)5\(.
Cik daudz tādu piecciparu skaitļu, kuru pēdējais cipars ir \)6\(, un kuri dalās ar \)3\(?
No naturāliem skaitļiem, kas nepārsniedz \)1993\(, izvēlieties \)1328\( skaitļus tā, lai starp jebkuriem trim izvēlētajiem būtu vismaz divi, kuru lielākais kopīgais dalītājs pārsniedz vieninieku. Pietiek uzrādīt vienu šādu \)1328\( skaitļu komplektu.
Pierādīt, ka jebkuriem naturāliem skaitļiem \)n\( un \)k\( izpildās vienādība
\[\left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n+1}{k} \right\rfloor + \ldots + \left\lfloor \frac{n+k-1}{k} \right\rfloor = n.\]
Ar \)\lfloor x \rfloor\( apzīmē lielāko veselo skaitli, kas nepārsniedz \)x\(. Pierādīt: ja \)p\( un \)q\( – naturāli skaitļi, kuru lielākais kopīgais dalītājs ir \)1\(, tad
\[\left\lfloor \frac{p}{q} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2p}{q} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{3p}{q} \right\rfloor + \ldots + \left\lfloor \frac{(q-1)p}{q} \right\rfloor =\]
\[=\left\lfloor \frac{q}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2q}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{3q}{p} \right\rfloor + \ldots + \left\lfloor \frac{(p-1)q}{p} \right\rfloor.\]
Dots naturāls skaitlis \)n\(. Aprēķināt summu
\[\left\lfloor \frac{n+1}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n+2}{2^2} \right\rfloor + \ldots + \left\lfloor \frac{n+2^k}{2^{k+1}} \right\rfloor + \ldots.\]
Pierādīt, ka vienādība
\[\sum_{k=1}^n \left\lfloor \frac{n}{k} \right\rfloor = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} \left\lfloor \frac{n-1}{k} \right\rfloor,\; n \in \mathbb{N}, n\geq 2\]
izpildās tad un tikai tad, kad \)n\( ir pirmskaitlis.
Atrodiet visus tādus naturālus skaitļus \)k\(, kuriem virkne \)k+1,k+2,\ldots,k+100\( satur maksimālo iespējamo pirmskaitļu skaitu.
Ar \)d(i)\( apzīmēsim skaitļa \)i\( naturālo dalītāju skaitu. Pierādiet, ka jebkuram naturālam skaitlim \)n$ izpildās vienādība
\[d(1)+d(2)+\ldots+d(n)= \left\lfloor \frac{n}{1} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor + \ldots + \left\lfloor \frac{n}{n} \right\rfloor.\]