Sākums

LV.NOL.2019.7.5

Uz tāfeles uzrakstītas deviņas zvaigznītes \(*********\). Mārtiņš ieraksta kādas zvaigznītes vietā jebkuru ciparu no \(1\) līdz \(9\). Pēc tam Rihards jebkuru divu citu zvaigznīšu vietā ieraksta divus nenulles ciparus (tie var arī atkārtoties). Pēc tam vēl divas reizes viņi atkārto šo darbību. Rihards uzvar, ja iegūtais deviņciparu skaitlis dalās ar \(31\). Vai Rihards vienmēr var uzvarēt?

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Pamatosim, ka Rihards vienmēr var uzvarēt.

Sadalām visus ciparus grupās pa trim cipariem katrā ( * )( * )( * ). Tad deviņciparu skaitli varam izteikt kā \(A \cdot 10^{6}+B \cdot 10^{3}+C\), kur \(A, B\) un \(C\) ir trīsciparu skaitļi, kas izveidojas attiecīgi pirmajā, otrajā un trešajā grupā. Ja Rihardam izdosies panākt, ka katrā grupā izveidotais trīsciparu skaitlis \(A, B\) un \(C\) dalās ar \(31\), tad arī iegūtais deviņciparu skaitlis dalīsies ar \(31\) (ja katrs saskaitāmais dalās ar \(31\), tad arī summa dalās ar \(31\)) un Rihards būs uzvarējis.

Ievērojam, ka ar \(31\) dalās trīsciparu skaitļi \(124,\ 248,\ 372,\ 465,\ 496,\ 589,\ 651,\ 713,\ 837\) un \(992\). Kad Mārtiņš aizvieto zvaigznīti, kas atrodas kādā grupā, Rihards atlikušās divas tās pašas grupas zvaigznītes aizvieto tā, lai tās kopā veidotu kādu no desmit minētajiem trīsciparu skaitļiem. Tā kā katrā no trim pozīcijām (vieni, desmiti, simti) minētajos skaitļos var atrast jebkuru ciparu no \(1\) līdz \(9\), tad to vienmēr ir iespējams izdarīt.

Piezīme. Var izvēlēties arī citus trīsciparu skaitļus, kas dalās ar \(31\). Ar \(31\) dalās šādi trīsciparu skaitļi: \(124;\ 155;\ 186;\ 217;\ 248;\ 279;\ 310;\ 341;\ 372;\ 403;\ 434;\ 465;\ 496;\ 527;\ 558;\ 589;\ 620;\ 651;\ 682;\ 713;\ 744;\ 775;\ 806;\ 837;\ 868;\ 899;\ 930;\ 961;\ 992\).