Kādai mazākajai naturālai \(n\) vērtībai skaitli \(10^{n}\) iespējams izteikt kā sešu naturālu skaitļu reizinājumu tā, ka neviens no tiem nav mazāks kā \(10\) un to visu pēdējie cipari ir dažādi (tas ir, nevienam no tiem pēdējais cipars nesakrīt ar kāda cita skaitļa pēdējo ciparu)?
Mazākā šāda \(n\) vērtība ir \(23\). Ja \(n=23\), tad \(10^{23}=10 \cdot 32 \cdot 64 \cdot 16 \cdot 128 \cdot 5^{22}\). Pierādīsim, ja \(n<23\), tad \(10^{n}\) šādā formā izteikt nevar.
Ievērojam, ka \(10^{n}=2^{n} \cdot 5^{n}\). Tātad katru no sešiem reizinātājiem var izteikt formā \(2^{x} \cdot 5^{y}\), kur \(x, y\) ir nenegatīvi veseli skaitļi. Ievērojam, ka neviena šādā formā izteikta reizinātāja pēdējais cipars nevar būt ne \(1\), ne \(3\), ne \(7\), ne \(9\) (ja skaitlis beidzas ar \(1, 3, 7\) vai \(9\), tad tas nedalās ne ar \(2\), ne ar \(5\)). Tātad kā reizinātāju pēdējie cipari jāizmanto visi atlikušie seši cipari: \(0, 2, 4, 5, 6, 8\). Aplūkosim tos \(5\) reizinātājus, kas beidzas ar \(0, 2, 4, 6, 8\), apzīmēsim tos ar \(a_{0}, a_{2}, a_{4}, a_{6}\), un \(a_{8}\). Ievērojam, ka neviens no tiem, izņemot \(a_{0}\), nedalās ar \(5\), tātad tie visi (izņemot \(a_{0}\) ) ir divnieka pakāpes.
Tā kā \(a_{0}\) beidzas ar \(0\), tad tas dalās ar \(2\).
Reizinātājs \(a_{2}\) noteikti dalās ar \(32\), jo mazākā divnieka pakāpe, kas beidzas ar \(2\) un nav mazāka kā \(10\), ir \(2^{5}=32\). Reizinātājs \(a_{4}\) noteikti dalās ar \(64\), jo mazākā divnieka pakāpe, kas beidzas ar \(4\) un nav mazāka kā \(10\), ir \(2^{6}=64\). Reizinātājs \(a_{6}\) noteikti dalās ar \(16\), jo mazākā divnieka pakāpe, kas beidzas ar \(6\) nav mazāka kā \(10\), ir \(2^{4}=16\). Reizinātājs \(a_{8}\) noteikti dalās ar \(128\), jo mazākā divnieka pakāpe, kas beidzas ar \(8\) un nav mazāka kā \(10\), ir \(2^{7}=128\).
Tātad \(a_{0} \cdot a_{2} \cdot a_{4} \cdot a_{6} \cdot a_{8}\) noteikti dalās ar \(2 \cdot 32 \cdot 64 \cdot 16 \cdot 128=2^{23}\).
Tā kā \(10^{n}\) dalās ar \(a_{0} \cdot a_{2} \cdot a_{4} \cdot a_{6} \cdot a_{8}\), tad arī \(10^{n}\) dalās ar \(2^{23}\). Tātad \(n\) nevar būt mazāks kā \(23\).