Naturāls skaitlis \(B\) ir iegūts no naturāla skaitļa \(A\), samainot vietām tā ciparus. Zināms, ka \(A+B=10^{45}\). Pierādīt, ka gan \(A\), gan \(B\) dalās ar \(5\).
Apzīmējam \(A=\overline{a_{45}a_{44} \ldots a_{2}a_{1}}\) un \(B=\overline{b_{45}b_{44} \ldots b_{2}b_{1}}\).
Desmitnieka pakāpes visi cipari, izņemot pirmo, ir \(0\). Apskatām abus iespējamos gadījumus: \(a_{1}+b_{1}=0\) vai \(a_{1}+b_{1}=10\)
Ja \(a_{1}+b_{1}=0\), tad \(a_{1}=b_{1}=0\). Līdz ar to \(A\) un \(B\) dalās ar \(5\).
Ja \(a_{1}+b_{1}=10\), tad derīgie ciparu komplekti (neņemot vērā \(a_{1}\) un \(b_{1}\) secību) ir \((1; 9),\ (2; 8),\ (3; 7),\ (4 ; 6),\ (5 ; 5)\) un veidojas pārnesums. Tas nozīmē, ka \(\overline{a_{45}a_{44} \ldots a_{2}}+\overline{b_{45}b_{44} \ldots b_{2}}=\underbrace{9999 \ldots 9}_{45}\)
Līdz ar to katram \(i(2 \leq i \leq 45) i\)-tajā pozīcijā \(a_{i}+b_{i}=9\), jo divu viencipara skaitļu summa nevar būt \(19\). Katrā pozīcijā zinot vienu no skaitļiem, viennozīmīgi ir noteikts arī otrs. Tātad pa visām šīm pozīcijām kopā sakrīt ciparu \(0\) un \(9\) skaits, \(1\) un \(8\) skaits, \(2\) un \(7\) skaits, \(3\) un \(6\) skaits, \(4\) un \(5\) skaits. Līdz ar to pa visām šīm pozīcijām kopā ir \(45\) pāra un \(45\) nepāra cipari, bet pēdējā pozīcijā abi cipari ir vai nu pāra, vai nepāra.
Tātad esam pierādījuši, ka gan \(A\), gan \(B\) dalās ar \(5\).