Sākums

LV.AMO.2018.12.4

Naturāls skaitlis \(B\) ir iegūts no naturāla skaitļa \(A\), samainot vietām tā ciparus. Zināms, ka \(A+B=10^{45}\). Pierādīt, ka gan \(A\), gan \(B\) dalās ar \(5\).

Noslēpt atrisinājumu

Atrisinājums

Apzīmējam \(A=\overline{a_{45}a_{44} \ldots a_{2}a_{1}}\) un \(B=\overline{b_{45}b_{44} \ldots b_{2}b_{1}}\).

Desmitnieka pakāpes visi cipari, izņemot pirmo, ir \(0\). Apskatām abus iespējamos gadījumus: \(a_{1}+b_{1}=0\) vai \(a_{1}+b_{1}=10\)

Ja \(a_{1}+b_{1}=0\), tad \(a_{1}=b_{1}=0\). Līdz ar to \(A\) un \(B\) dalās ar \(5\).

Ja \(a_{1}+b_{1}=10\), tad derīgie ciparu komplekti (neņemot vērā \(a_{1}\) un \(b_{1}\) secību) ir \((1; 9),\ (2; 8),\ (3; 7),\ (4 ; 6),\ (5 ; 5)\) un veidojas pārnesums. Tas nozīmē, ka \(\overline{a_{45}a_{44} \ldots a_{2}}+\overline{b_{45}b_{44} \ldots b_{2}}=\underbrace{9999 \ldots 9}_{45}\)

Līdz ar to katram \(i(2 \leq i \leq 45) i\)-tajā pozīcijā \(a_{i}+b_{i}=9\), jo divu viencipara skaitļu summa nevar būt \(19\). Katrā pozīcijā zinot vienu no skaitļiem, viennozīmīgi ir noteikts arī otrs. Tātad pa visām šīm pozīcijām kopā sakrīt ciparu \(0\) un \(9\) skaits, \(1\) un \(8\) skaits, \(2\) un \(7\) skaits, \(3\) un \(6\) skaits, \(4\) un \(5\) skaits. Līdz ar to pa visām šīm pozīcijām kopā ir \(45\) pāra un \(45\) nepāra cipari, bet pēdējā pozīcijā abi cipari ir vai nu pāra, vai nepāra.

  • Ja pēdējā pozīcijā abi ir nepāra cipari, tad visi pāra cipari, kas ietilpst \(A\) un \(B\) pierakstā, atrodas pozīcijās no pirmās līdz priekšpēdējai. Tā kā \(A\) un \(B\) ir veidoti no viena ciparu komplekta, tad pāra ciparu komplekts skaitlī \(A\) sakrīt ar pāra ciparu komplektu skaitlī \(B\). Tā kā katrs pāra cipars vienā skaitlī viennozīmīgi nosaka nepāra ciparu otrā skaitlī, tad abu skaitļu pierakstā, bez pēdējā cipara, izmantoti arī vieni un tie paši nepāra cipari. Lai viss ciparu komplekts abiem skaitļiem būtu vienāds, nepieciešams, lai \(a_{1}=b_{1}\). Bet tas ir iespējams tikai tad, ja \(a_{1}=b_{1}=5\). Tas nozīmē, ka \(A\) un \(B\) dalās ar \(5\).
  • Ja pēdējā pozīcijā abi ir pāra cipari, tad izmantojot līdzīgus spriedumus, iegūstam, ka \(a_{1}=b_{1}\), bet tas nav iespējams, jo skaitli \(10\) nav iespējams iegūt kā divu vienādu pāra ciparu summu.

Tātad esam pierādījuši, ka gan \(A\), gan \(B\) dalās ar \(5\).